Równania i nierówności
Zadanie 24, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,0)\) oraz \(C=(5,6)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Kwadrat \(A'B'C'D'\) jest obrazem kwadratu \(ABCD\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\).
**Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie** \(\mathbf{A'B'C'D'}\)**. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[(x+1)^2+(y-3)^2=25.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W symetrii względem osi \(Oy\):
\[A'= (3,0),\qquad C'=(-5,6).\]
Punkty \(A'\) i \(C'\) są końcami średnicy okręgu. Jego środek to środek odcinka \(A'C'\):
\[S'=\left(\frac{3-5}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(-1,3).\]
Promień jest równy połowie długości przekątnej:
\[r=\frac12\sqrt{(-5-3)^2+(6-0)^2}=5.\]
Równanie okręgu:
\[(x+1)^2+(y-3)^2=25.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i równanie \((x+1)^2+(y-3)^2=25\)
**3 pkt** – obliczenie \(r=5\) oraz \(S'=(-1,3)\), albo wyznaczenie równania okręgu przed symetrią
**2 pkt** – obliczenie \(A'=(3,0)\), \(C'=(-5,6)\) oraz promienia, albo wyznaczenie środka okręgu
**1 pkt** – obliczenie obrazów punktów, promienia albo środka odpowiedniego okręgu
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
IX.5) Zdający wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych.
