Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 24, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Czworokąt \(ABCD\) jest równoległobokiem takim, że
\[\overrightarrow{BD}=[-21,-7]\qquad\text{oraz}\qquad\overrightarrow{DC}=[15,8].\]
**Oblicz pole równoległoboku \(ABCD\).**
Odpowiedź
Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(63\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zmieniamy zwrot pierwszego wektora:
\[\overrightarrow{DB}=[21,7],\qquad\overrightarrow{DC}=[15,8].\]
Pole trójkąta \(BCD\) jest połową wartości bezwzględnej wyznacznika tych wektorów:
\[P_{BCD}=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}21&15\\7&8\end{pmatrix}\right|=\frac12|21\cdot8-7\cdot15|=\frac{63}{2}.\]
Przekątna \(BD\) dzieli równoległobok na dwa trójkąty o równych polach, więc
\[P_{ABCD}=2P_{BCD}=63.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i wynik \(63\)
**3 pkt** – obliczenie pola trójkąta \(BCD\)
**2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na pole trójkąta z wykorzystaniem współrzędnych lub równoważnej metody trygonometrycznej
**1 pkt** – wyrażenie odpowiednich wektorów albo obliczenie długości boków trójkąta \(BCD\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.4 stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.4, VIII.2 i IX.3R korzystanie z tożsamości trygonometrycznych i twierdzenia cosinusów oraz wykonywanie działań na wektorach i obliczanie ich długości.
![Rozwiązanie zadania 24 (zbiór zadań z informatora CKE 2023): Czworokąt ABCD jest równoległobokiem takim, że BD=[-21,-7] oraz DC=[15,8]. Oblicz pole równoległoboku ABCD.](rozwiazanie.webp)
