Równania i nierówności
Zadanie 41.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Informacja do zadań \(41\).\(1\).–\(41\).\(2\).**
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są okrąg \(\mathcal O\) o środku w punkcie \(S=(3,-4)\) i prosta \(k\) o równaniu
\[2x-y-11=0.\]
Okrąg \(\mathcal O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).
**Zadanie \(41\).\(2\).**
**Oblicz współrzędne punktu \(P\), w którym okrąg \(\mathcal O\) jest styczny do prostej \(k\).**
Odpowiedź
\[P=\left(\frac{17}{5},-\frac{21}{5}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Prosta \(k\) ma równanie \(y=2x-11\). Promień \(SP\) jest prostopadły do \(k\), więc prosta przechodząca przez \(S=(3,-4)\) i \(P\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac12\):
\[k_\perp:y=-\frac12x-\frac52.\]
Rozwiązujemy układ
\[\begin{cases}y=2x-11,\\y=-\frac12x-\frac52.\end{cases}\]
Stąd \(x=\frac{17}{5}\), a następnie \(y=2\cdot\frac{17}{5}-11=-\frac{21}{5}\). Zatem
\[P=\left(\frac{17}{5},-\frac{21}{5}\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawny układ równań i wynik \(P=(\frac{17}{5},-\frac{21}{5})\), albo poprawne rozwiązanie układu równania prostej i okręgu
**1 pkt** – wyznaczenie prostej prostopadłej \(k_\perp:y=-\frac12x-\frac52\) lub poprawne zapisanie układu prostej i okręgu
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i III.3 operowanie obiektami i tworzenie konstrukcji pomocniczej.
**Wymagania szczegółowe:**
IV.1, IV.3 oraz IX.2, IX.4-IX.6 układy równań, równania prostych, równanie okręgu, odległość punktu od prostej i punkty wspólne prostej z okręgiem.
