Równania i nierówności
Zadanie 41.1, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Informacja do zadań \(41\).\(1\).–\(41\).\(2\).**
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są okrąg \(\mathcal O\) o środku w punkcie \(S=(3,-4)\) i prosta \(k\) o równaniu
\[2x-y-11=0.\]
Okrąg \(\mathcal O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).
**Zadanie \(41\).\(1\).**
**Wyznacz i zapisz równanie okręgu \(\mathcal O\).**
Odpowiedź
\[(x-3)^2+(y+4)^2=\frac15.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Promień okręgu jest równy odległości środka \(S=(3,-4)\) od stycznej \(k:2x-y-11=0\):
\[r=d(S,k)=\frac{|2\cdot3-(-4)-11|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}.\]
Zatem \(r^2=\frac15\), a równanie okręgu ma postać
\[(x-3)^2+(y+4)^2=\frac15.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda oraz równanie \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac15\)
**1 pkt** – poprawna metoda obliczenia promienia i wynik \(r=\frac{\sqrt5}{5}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i III.3 operowanie obiektami oraz tworzenie obiektów pomocniczych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.4-IX.5 równanie okręgu oraz odległość punktu od prostej.
