Liczby rzeczywiste
Zadanie 40.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Informacja do zadań \(40\).\(1\).–\(40\).\(2\).**
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest okrąg \(\mathcal O\) określony równaniem
\[(x-2)^2+(y+3)^2=16.\]
**Zadanie \(40\).\(2\).**
**Oblicz współrzędne \(x\) punktów przecięcia okręgu \(\mathcal O\) z osią \(Ox\).**
Odpowiedź
Współrzędne \(x\) punktów przecięcia to
\[x_1=2+\sqrt7,\qquad x_2=2-\sqrt7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt osi \(Ox\) ma drugą współrzędną równą \(0\), więc do równania okręgu podstawiamy \(y=0\):
\[(x-2)^2+(0+3)^2=16.\]
Stąd
\[(x-2)^2=7,\qquad |x-2|=\sqrt7.\]
Otrzymujemy dwa rozwiązania:
\[x_1=2+\sqrt7,\qquad x_2=2-\sqrt7.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne równanie \((x-2)^2+(0+3)^2=16\) oraz oba rozwiązania \(x=2+\sqrt7\) i \(x=2-\sqrt7\)
**1 pkt** – wykorzystanie informacji, że na osi \(Ox\) mamy \(y=0\), i poprawne zapisanie równania
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
I.7, III.4, IX.4 i IX.6 równania z wartością bezwzględną i równania kwadratowe, równanie okręgu oraz punkty wspólne prostej i okręgu.
