Nierówności
Zadanie 21, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Okrąg o środku \(S=(3,2)\) leży wewnątrz okręgu o równaniu
\[(x-6)^2+(y-8)^2=100\]
i jest do niego styczny. Wyznacz równanie prostej stycznej do obu tych okręgów.
Odpowiedź
\[y=-\frac12x+11-5\sqrt5.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Większy okrąg ma środek \(S_1=(6,8)\) i promień \(R=10\). Prosta \(SS_1\) ma równanie \(y=2x-4\), więc wspólna styczna jest do niej prostopadła i ma postać
\[y=-\frac12x+b.\]
Jej odległość od \(S_1\) jest równa \(10\), zatem
\[\frac{|\frac12\cdot6+8-b|}{\sqrt{(1/2)^2+1}}=10,\]
czyli \(|11-b|=5\sqrt5\). Otrzymujemy \(b=11-5\sqrt5\) lub \(b=11+5\sqrt5\). Tylko pierwsza z tych prostych jest styczna również do okręgu wewnętrznego: jego promień wynosi \(10-SS_1=10-3\sqrt5\), a odległość środka \(S=(3,2)\) od prostej dla \(b=11-5\sqrt5\) jest równa
\[\frac{|\frac32+2-(11-5\sqrt5)|}{\sqrt5/2}=10-3\sqrt5.\]
Stąd szukana prosta ma równanie \(y=-\frac12x+11-5\sqrt5\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 5 pkt** – poprawne równanie wspólnej stycznej wraz z odrzuceniem drugiej prostej
**4 pkt** – wyznaczenie obu prostych stycznych do większego okręgu i poprawne wskazanie właściwej bez pełnego uzasadnienia
**2: 3 pkt** – ustalenie nachylenia \(-\frac12\) i poprawne równanie odległości środka od prostej
**1 pkt** – rozpoznanie, że styczna jest prostopadła do prostej łączącej środki
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
8.5. R. Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) oraz opisuje koła za pomocą nierówności.
