Zadanie 25 – matura z matematyki sierpień 2025, poziom podstawowy

**P, P**

**Krok \(1\).** Równanie okręgu podano w postaci kanonicznej \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), więc od razu odczytujemy środek i promień. Liczbę punktów wspólnych okręgu z prostą (tu: z osią układu) rozstrzyga porównanie promienia z odległością środka od tej prostej. **Krok \(2\).** Porównujemy z wzorcem: \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4\), więc \(a=1\), \(b=-3\) (bo \(y+3=y-(-3)\)) oraz \(r^{2}=4\), czyli \(r=2\). Środek to \(S=(1,-3)\). **Krok \(3\).** Reguła: jeżeli odległość środka od prostej jest większa od \(r\), punktów wspólnych nie ma; jeżeli równa \(r\) — jest jeden (styczna); jeżeli mniejsza od \(r\) — są dwa. **Krok \(4\).** Odległość środka od osi \(Ox\) to wartość bezwzględna drugiej współrzędnej: \(|-3|=3\). Ponieważ \(3\gt 2\), okrąg nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\) — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. **Krok \(5\).** Odległość środka od osi \(Oy\) to wartość bezwzględna pierwszej współrzędnej: \(|1|=1\). Ponieważ \(1\lt 2\), okrąg przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach — drugie stwierdzenie także jest prawdziwe. **Krok \(6\).** Sprawdzamy rachunkiem. Dla osi \(Ox\) podstawiamy \(y=0\): \[(x-1)^{2}+9=4,\qquad (x-1)^{2}=-5,\] co jest niemożliwe — brak punktów wspólnych. **Krok \(7\).** Dla osi \(Oy\) podstawiamy \(x=0\): \[1+(y+3)^{2}=4,\qquad (y+3)^{2}=3,\qquad y=-3\pm\sqrt{3},\] czyli dwa punkty wspólne. **Uwaga.** Łatwo pomylić osie: odległość środka od osi \(Ox\) mierzymy wzdłuż osi \(Oy\), więc bierzemy współrzędną \(y\) środka (tu \(3\)), a nie \(x\). Uwagi wymaga też znak w równaniu: \((y+3)^{2}\) oznacza \(b=-3\), a nie \(b=3\). **Odpowiedź.** Prawda, Prawda (P, P)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).