Liczby rzeczywiste
Zadanie 23, sierpień 2025, poziom podstawowy
Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB|=2\cdot|CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz **P**, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo **F** - jeśli jest fałszywe.
| Stwierdzenie | P | F |
|---|:---:|:---:|
| Pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe. | P | F |
| Pole trójkąta \(ABE\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(CDE\). | P | F |
Odpowiedź
**P, F.** Pola trójkątów \(BCE\) i \(AED\) są równe. Trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są podobne w skali \(2\), więc stosunek ich pól wynosi \(4\), a nie \(2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W trapezie z przekątnymi działają dwa narzędzia: trójkąty o wspólnej podstawie i równych wysokościach mają równe pola, a trójkąty utworzone przez przekątne przy obu podstawach są podobne. Pierwsze stwierdzenie rozstrzygniemy pierwszym narzędziem, drugie - drugim.
**Krok \(2\).** Trójkąty \(ABC\) i \(ABD\) mają wspólną podstawę \(AB\), a ich wierzchołki \(C\) i \(D\) leżą na prostej równoległej do \(AB\). Wysokości opuszczone na \(AB\) są więc równe (to odległość między prostymi równoległymi), a zatem
\[P_{ABC}=P_{ABD}.\]
**Krok \(3\).** Oba te trójkąty składają się z trójkąta \(ABE\) i jeszcze jednego kawałka:
\[P_{ABC}=P_{ABE}+P_{BCE},\qquad P_{ABD}=P_{ABE}+P_{AED}.\]
Odejmując wspólne pole \(P_{ABE}\) od równości z kroku \(2\), otrzymujemy
\[P_{BCE}=P_{AED}.\]
Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.
**Krok \(4\).** Przechodzimy do drugiego stwierdzenia. Ponieważ \(AB\) i \(CD\) są równoległe, kąty \(\angle BAE\) i \(\angle DCE\) oraz \(\angle ABE\) i \(\angle CDE\) są naprzemianległe, czyli równe. Trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są zatem podobne.
**Krok \(5\).** Skala podobieństwa to stosunek odpowiadających sobie boków:
\[k=\frac{|AB|}{|CD|}=2.\]
**Krok \(6\).** Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali:
\[\frac{P_{ABE}}{P_{CDE}}=k^{2}=2^{2}=4.\]
Pole trójkąta \(ABE\) jest więc cztery razy większe od pola trójkąta \(CDE\), a nie dwa razy. Drugie stwierdzenie jest fałszywe.
**Uwaga.** Skala \(2\) dotyczy długości boków. Pola figur podobnych zmieniają się w skali \(k^{2}\) - pominięcie kwadratu to najczęstszy błąd w tym zadaniu.
**Odpowiedź.** P, F.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.4) Zdający korzysta z własności […] przekątnych w […] trapezach;
VIII.8) Zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
VIII.9) Zdający wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.
