Graniastosłupy
Zadanie 26, sierpień 2025, poziom podstawowy
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Wysokość podstawy \(ABC\) jest równa \(2\sqrt3\). Przekątna \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tworzy z krawędzią \(AB\) kąt o mierze \(60^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Odpowiedź
Wysokość trójkąta równobocznego spełnia \(\frac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3\), więc \(a=4\), a pole podstawy wynosi \(P_p=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3\). W prostokącie \(ABED\):
\[\tan60^{\circ}=\frac{H}{4},\qquad H=4\sqrt3.\]
Zatem
\[V=P_pH=4\sqrt3\cdot4\sqrt3=48,\]
\[P_c=2P_p+3aH=8\sqrt3+48\sqrt3=56\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\); jego wysokość wynosi \(\frac{a\sqrt3}2\). Z rysunku odczytujemy, że ta wysokość jest równa \(2\sqrt3\), więc
\[\frac{a\sqrt3}2=2\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a=4.\]
Ściana boczna \(ABED\) jest prostokątem o bokach \(|AB|=a=4\) i \(|BE|=H\), a \(AE\) jest jego przekątną. Kąt między \(AE\) a krawędzią \(AB\) ma miarę \(60^{\circ}\), więc w trójkącie prostokątnym \(ABE\)
\[\tan60^{\circ}=\frac{H}{4}\quad\Longrightarrow\quad H=4\sqrt3.\]
Pole podstawy:
\[P_p=\frac{a^{2}\sqrt3}4=\frac{16\sqrt3}4=4\sqrt3.\]
Objętość i pole powierzchni całkowitej:
\[V=P_p\cdot H=4\sqrt3\cdot4\sqrt3=48,\]\[P_c=2P_p+3aH=8\sqrt3+3\cdot4\cdot4\sqrt3=8\sqrt3+48\sqrt3=56\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** \(V=48\) oraz \(P_c=56\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie boku podstawy a = 4 albo zapisanie H = a√3.
2 pkt: obliczenie a = 4 i H = 4√3.
3 pkt: obliczenie V = 48 albo Pc = 56√3.
4 pkt: poprawne obliczenie obu wielkości.
Wymagania podstawy programowej
2 pkt – zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. \(V=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}\), LUB zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. \(P_c=2\cdot\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}+3\cdot a\cdot a\sqrt{3}\).
