Geometria analityczna
Zadanie 23, sierpień 2024, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) odcinek o końcach
\[A=(-4,7)\qquad\text{oraz}\qquad B=(6,-1)\]
jest średnicą okręgu \(\mathcal O\).
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Okrąg \(\mathcal O\) jest określony równaniem
**A.** \((x-1)^2+(y-3)^2=41\)
**B.** \((x-5)^2+(y+4)^2=41\)
**C.** \((x-1)^2+(y+3)^2=41\)
**D.** \((x-5)^2+(y-4)^2=41\)
Odpowiedź
**A.** \((x-1)^2+(y-3)^2=41\).
Rozwiązanie krok po kroku
Środek okręgu jest środkiem odcinka \(AB\):
\[O=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{7+(-1)}{2}\right)=(1,3).\]
Kwadrat promienia obliczamy na przykład z odległości środka od punktu \(A\):
\[r^2=(-4-1)^2+(7-3)^2=25+16=41.\]
Równanie okręgu ma więc postać
\[(x-1)^2+(y-3)^2=41.\]
Poprawna jest odpowiedź **A**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
