Geometria analityczna
Zadanie 29, sierpień 2010, poziom podstawowy
Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(4,-2)\) i przechodzącego przez punkt \(O=(0,0)\).
Odpowiedź
\((x-4)^2+(y+2)^2=20\) (równoważnie \(x^2+y^2-8x+4y=0\)).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\]
Środek jest dany, więc jedyne, czego brakuje, to \(r\). A skoro okrąg przechodzi przez punkt \(O\), to promień jest po prostu odległością środka od tego punktu.
**Krok \(2\).** Liczymy \(r=|SO|\) ze wzoru na długość odcinka, dla \(S=(4,-2)\) i \(O=(0,0)\):
\[r^2=(4-0)^2+(-2-0)^2=16+4=20.\]
**Krok \(3\).** Do równania okręgu wstawiamy \(r^2\), a nie \(r\), więc pierwiastka nie musimy nawet wyciągać. (Gdyby był potrzebny: \(r=\sqrt{20}=2\sqrt5\).)
**Krok \(4\).** Podstawiamy \(a=4\) oraz \(b=-2\). Uwaga na znak: \(y-b=y-(-2)=y+2\).
**Krok \(5\).** Otrzymujemy równanie
\[(x-4)^2+(y+2)^2=20.\]
**Krok \(6\).** Dla sprawdzenia wstawiamy \(O=(0,0)\): \((0-4)^2+(0+2)^2=16+4=20\), więc punkt \(O\) rzeczywiście leży na tym okręgu.
**Uwaga.** Ujemna współrzędna środka zmienia znak w nawiasie na przeciwny — typowy błąd to zapisanie \((y-2)^2\). Jeśli ktoś woli postać ogólną, po rozwinięciu wychodzi \(x^2+y^2-8x+4y=0\).
**Odpowiedź.** \((x-4)^2+(y+2)^2=20\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie r²=20. 2 pkt: poprawne równanie okręgu.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – wyznacza równanie okręgu.
