Geometria analityczna
Zadanie 30, sierpień 2010, poziom podstawowy
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach \(A=(3,8)\), \(B=(1,2)\), \(C=(6,7)\) jest prostokątny.
Odpowiedź
Trójkąt ABC jest prostokątny w A
Rozwiązanie krok po kroku
Wyznaczamy wektory wychodzące z wierzchołka \(A=(3,8)\):
\[\overrightarrow{AB}=[1-3,\,2-8]=[-2,-6],\qquad \overrightarrow{AC}=[6-3,\,7-8]=[3,-1].\]
Trójkąt jest prostokątny przy \(A\) dokładnie wtedy, gdy te wektory są prostopadłe, czyli gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru:
\[\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=(-2)\cdot3+(-6)\cdot(-1)=-6+6=0.\]
Warunek jest spełniony, więc kąt \(BAC\) jest prosty.
**Odpowiedź.** Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, z kątem prostym przy wierzchołku \(A\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie kwadratów długości boków. 2 pkt: zależność AC²+AB²=BC² i wniosek.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – sprawdza prostokątność trójkąta ze współrzędnych.
