Równania i nierówności
Zadanie 17, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony
Okrąg \(o_1\) określony jest równaniem
\[x^2+y^2-4x+6y+9=0.\]
a) Napisz równanie okręgu \(o_2\) współśrodkowego z okręgiem \(o_1\), przechodzącego przez punkt \(A=(6,0)\).
b) Oblicz pole pierścienia kołowego ograniczonego okręgami \(o_1\) i \(o_2\).
Odpowiedź
a) \(o_2\colon (x-2)^2+(y+3)^2=25\). b) \(P=21\pi\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Okrąg \(o_1\) dany jest w postaci ogólnej, więc najpierw sprowadzamy jego równanie do postaci kanonicznej \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) przez uzupełnianie do kwadratów — tylko z niej odczytamy środek i promień. Słowo współśrodkowy oznacza, że \(o_2\) ma ten sam środek, a skoro przechodzi przez znany punkt, to jego promień jest po prostu odległością tego punktu od środka.
**Krok \(2\).** Uzupełniamy do kwadratów w równaniu okręgu \(o_1\):
\[x^2-4x=(x-2)^2-4,\qquad y^2+6y=(y+3)^2-9.\]
Podstawiamy:
\[(x-2)^2-4+(y+3)^2-9+9=0,\]
\[(x-2)^2+(y+3)^2=4.\]
**Krok \(3\).** Odczytujemy: środek \(S=(2,-3)\), a promień \(r=\sqrt{4}=2\).
**Krok \(4\).** Podpunkt a). Okrąg \(o_2\) ma ten sam środek \(S\), a jego promień \(R\) to odległość \(|AS|\), gdzie \(A=(6,0)\):
\[R=|AS|=\sqrt{(6-2)^2+\left(0-(-3)\right)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.\]
**Krok \(5\).** Zapisujemy równanie okręgu \(o_2\):
\[(x-2)^2+(y+3)^2=25.\]
**Krok \(6\).** Podpunkt b). Pierścień kołowy to obszar między dwoma okręgami współśrodkowymi, więc jego pole to różnica pól kół:
\[P=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right).\]
**Krok \(7\).** Podstawiamy \(R^2=25\) i \(r^2=4\):
\[P=\pi(25-4)=21\pi.\]
**Uwaga.** Częsty błąd to pomylenie \(r^2\) z \(r\): z równania \((x-2)^2+(y+3)^2=4\) odczytujemy \(r^2=4\), czyli \(r=2\), a nie \(r=4\). Zwróć też uwagę na znaki we współrzędnych środka: z zapisu \((y+3)^2\) wynika \(q=-3\), bo \(y+3=y-(-3)\). W polu pierścienia wygodnie jest w ogóle nie pierwiastkować — potrzebne są przecież kwadraty promieni.
**Odpowiedź.** a) \(o_2\colon (x-2)^2+(y+3)^2=25\). b) \(P=21\pi\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Obliczenie długości promienia okręgu \(o_{2}\) (np. jako \(|AS|\)): \(R=5\)
**2. (1 pkt)** – Zapisanie równania okręgu \(o_{2}\): \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25\)
**3. (2 pkt)** – Obliczenie pola pierścienia (1 punkt przyznajemy za metodę, a jeden za obliczenia): \(P=21\pi\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
