Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 19, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony
Krótki łańcuch choinkowy składa się z dwudziestu żarówek. Dla każdej z żarówek prawdopodobieństwo, że będzie działać przez co najmniej \(300\) godzin, jest równe \(0{,}9\).
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w krótkim łańcuchu w ciągu \(300\) godzin przepali się co najwyżej jedna żarówka. W obliczeniach możesz przyjąć, że \((0{,}9)^{19}\approx0{,}14\).
b) W skrzyni jest \(6\) łańcuchów krótkich i \(4\) łańcuchy długie. Do dekoracji choinki użyto cztery losowo wybrane łańcuchy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że do dekoracji użyto dwóch łańcuchów krótkich i dwóch łańcuchów długich.
Odpowiedź
a) \(P=0{,}9^{19}\cdot2{,}9\approx0{,}406\) przy przybliżeniu \(0{,}9^{19}\approx0{,}14\). b) \(P=\frac{90}{210}=\frac37\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Żarówki działają niezależnie od siebie, a dla każdej prawdopodobieństwo przepalenia się w ciągu \(300\) godzin wynosi \(q=1-0{,}9=0{,}1\). Mamy więc \(20\) prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu (przepalenia) równym \(q\).
Zdarzenie „przepali się co najwyżej jedna żarówka" to suma rozłącznych zdarzeń: nie przepali się żadna albo przepali się dokładnie jedna. Zatem
\[P=\binom{20}{0}\cdot q^{0}\cdot0{,}9^{20}+\binom{20}{1}\cdot q^{1}\cdot0{,}9^{19}=0{,}9^{20}+20\cdot0{,}1\cdot0{,}9^{19}.\]
Wyłączamy \(0{,}9^{19}\) przed nawias:
\[P=0{,}9^{19}\cdot\left(0{,}9+2\right)=0{,}9^{19}\cdot2{,}9.\]
Korzystając z podanego przybliżenia \(0{,}9^{19}\approx0{,}14\), otrzymujemy
\[P\approx0{,}14\cdot2{,}9=0{,}406.\]
**b)** Wybieramy cztery łańcuchy spośród dziesięciu, a kolejność nie ma znaczenia, więc
\[|\Omega|=\binom{10}{4}=210.\]
Dwa łańcuchy krótkie spośród sześciu wybieramy na \(\binom{6}{2}=15\) sposobów, a dwa długie spośród czterech na \(\binom{4}{2}=6\) sposobów, zatem
\[|A|=15\cdot6=90,\qquad P(A)=\frac{90}{210}=\frac37.\]
**Odpowiedź.** a) \(P\approx0{,}406\); b) \(P(A)=\frac37\)
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: \(\Omega=\binom{10}{4}\)
**2. (1 pkt)** – Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających wyborowi dwóch łańcuchów krótkich i dwóch łańcuchów długich: \(A=\binom{4}{2}\binom{6}{2}\)
**3. (1 pkt)** – Obliczenie prawdopodobieństwa: \(P(A)=\frac{3}{7}\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
