Równania i nierówności
Zadanie 16, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony
Jednokierunkowa droga o szerokości \(8\,\mathrm{m}\) prowadzi przez tunel. Przekrój poprzeczny tunelu, przedstawiony na poniższym rysunku, ma kształt zbliżony do łuku paraboli o równaniu
\[y=-\frac38x^2+6.\]
Sprawdź, wykonując odpowiednie obliczenia, czy ciężarówka wioząca prostopadłościenny kontener o szerokości \(4{,}8\,\mathrm{m}\) może przejechać tym tunelem, jeżeli najwyższy punkt kontenera znajduje się \(4\,\mathrm{m}\) nad drogą.
Odpowiedź
Ciężarówka nie przejedzie: dla \(x=2{,}4\) wysokość tunelu wynosi \(f(2{,}4)=3{,}84\ \mathrm{m}\), czyli mniej niż wymagane \(4\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację geometryczną. Kontener jest PROSTOPADŁOŚCIANEM, więc jego przekrój poprzeczny to prostokąt o szerokości \(4{,}8\ \mathrm{m}\) i górnej krawędzi na wysokości \(4\ \mathrm{m}\). Sklepienie tunelu opada ku bokom, więc najciaśniej jest nie w środku, lecz nad BOCZNYMI krawędziami kontenera. Wystarczy zatem sprawdzić, jak wysoko jest sklepienie dokładnie nad tymi krawędziami i porównać z liczbą \(4\).
**Krok \(2\).** Ustalamy współrzędne krawędzi. Kontener jedzie środkiem tunelu, a wierzchołek paraboli leży na osi \(OY\), więc kontener zajmuje pas symetryczny względem \(x=0\). Jego krawędzie boczne mają odcięte
\[x=\pm\frac{4{,}8}{2}=\pm2{,}4.\]
**Krok \(3\).** Obliczamy wysokość sklepienia dla \(x=2{,}4\) ze wzoru \(y=-\tfrac38x^2+6\). Najpierw kwadrat:
\[(2{,}4)^2=5{,}76.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy:
\[y=-\frac38\cdot5{,}76+6.\]
Liczymy \(\dfrac{5{,}76}{8}=0{,}72\), a następnie \(3\cdot0{,}72=2{,}16\). Zatem
\[y=6-2{,}16=3{,}84.\]
Z symetrii paraboli dla \(x=-2{,}4\) wychodzi tyle samo.
**Krok \(5\).** Porównujemy z wysokością kontenera:
\[3{,}84\ \mathrm{m}\lt4\ \mathrm{m}.\]
Sklepienie nad krawędzią kontenera znajduje się NIŻEJ niż górna krawędź kontenera, a więc kontener zahaczyłby o sklepienie.
**Krok \(6\).** Wniosek: ciężarówka nie może przejechać tym tunelem. (Inaczej: sklepienie ma wysokość dokładnie \(4\ \mathrm{m}\) tam, gdzie \(-\tfrac38x^2+6=4\), czyli \(x^2=\tfrac{16}{3}\), \(x=\tfrac{4\sqrt3}{3}\approx2{,}31\). Kontener wymagałby \(x=2{,}4\gt2{,}31\), czyli byłby za szeroki.)
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to sprawdzenie wysokości tunelu w jego NAJWYŻSZYM punkcie: \(y(0)=6\ \mathrm{m}\), z czego wyszłoby, że kontener swobodnie się mieści. To rozumowanie byłoby poprawne tylko dla ładunku o zerowej szerokości. Ponieważ kontener jest prostopadłościenny, o przejeździe decyduje najniższy punkt sklepienia w obrębie zajmowanego przez niego pasa, czyli wysokość dla \(x=\pm2{,}4\).
**Odpowiedź.** Ciężarówka nie przejedzie: dla \(x=2{,}4\) wysokość tunelu wynosi \(f(2{,}4)=3{,}84\ \mathrm{m}\), czyli mniej niż wymagane \(4\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Obliczenie wartości \(f(2{,}4)=3{,}84\) (lub stwierdzenie, że \(4=f\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=f\left(\frac{-4\sqrt{3}}{3}\right)\))
**2. (1 pkt)** – Porównanie odpowiednich wartości liczbowych i podanie wniosku, że ciężarówka nie zmieści się w tunelu.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
