Inne zagadnienia
Zadanie 2, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Okrąg o równaniu
\[(x+2)^2+(y-2)^2=4\]
ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu
**A.** \(x=0\)
**B.** \(y=0\)
**C.** \(y=-x\)
**D.** \(y=x\)
Odpowiedź
**C.** \(y=-x\)
Rozwiązanie krok po kroku
Okrąg \((x+2)^2+(y-2)^2=4\) ma środek \(S=(-2,2)\) i promień \(r=2\). Prosta ma z okręgiem dwa punkty wspólne dokładnie wtedy, gdy odległość środka od prostej jest mniejsza od \(r\).
Liczymy odległości \(S\) od kolejnych prostych:
\[d(x=0)=|-2|=2,\qquad d(y=0)=|2|=2,\]
\[d(x+y=0)=\frac{|-2+2|}{\sqrt2}=0,\qquad d(x-y=0)=\frac{|-2-2|}{\sqrt2}=2\sqrt2.\]
Warunek \(d<2\) spełnia tylko prosta \(y=-x\) (dla \(x=0\) i \(y=0\) prosta jest styczna, dla \(y=x\) rozłączna z okręgiem).
**Odpowiedź.** C. \(y=-x\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
R8.5, 4.5) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) oraz opisuje koła za pomocą nierówności; rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru.
