Zadanie 12 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

Dla \(\cos x\neq0\), po podzieleniu równania przez \(\cos^{2}x\), otrzymujemy \(3+2\sqrt{3}\tan x-3\tan^{2}x=0\), więc \(\tan x\in\{\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\}\). Wartości z \([-\pi,\pi]\) to \[x\in\left\{-\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right\}.\] Wartości z \(\cos x=0\) nie spełniają równania.

**Krok \(1\).** Metoda: całe wyrażenie sprowadzamy do funkcji kąta \(2x\), korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta \(\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x\). Otrzymamy proste równanie z tangensem. **Krok \(2\).** Grupujemy pierwszy i trzeci składnik: \[3\cos^{2}x-3\sin^{2}x=3\left(\cos^{2}x-\sin^{2}x\right)=3\cos(2x).\] Zatem równanie przyjmuje postać \[3\cos(2x)+\sqrt3\sin(2x)=0.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy, czy rozwiązaniem mogą być liczby, dla których \(\cos(2x)=0\). Wtedy \(\sin(2x)=1\) albo \(\sin(2x)=-1\), więc lewa strona byłaby równa \(\pm\sqrt3\neq 0\). Takich rozwiązań nie ma, a zatem możemy podzielić obie strony przez \(\cos(2x)\neq 0\). **Krok \(4\).** Po podzieleniu otrzymujemy \[3+\sqrt3\,\operatorname{tg}(2x)=0,\qquad \operatorname{tg}(2x)=-\frac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy równanie z tangensem: \[2x=-\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad\text{czyli}\qquad x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(6\).** Wybieramy te rozwiązania, które należą do przedziału \([-\pi,\pi]\): \[k=-1\colon\ x=-\frac{2\pi}{3},\qquad k=0\colon\ x=-\frac{\pi}{6},\qquad k=1\colon\ x=\frac{\pi}{3},\qquad k=2\colon\ x=\frac{5\pi}{6}.\] Dla \(k=-2\) mamy \(x=-\frac{7\pi}{6}\lt -\pi\), a dla \(k=3\) mamy \(x=\frac{4\pi}{3}\gt\pi\) — te odpadają. **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=\frac{\pi}{3}\): \(2x=\frac{2\pi}{3}\), \(3\cos\frac{2\pi}{3}+\sqrt3\sin\frac{2\pi}{3}=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0\) — zgadza się. **Uwaga.** Dzieląc równanie przez funkcję trygonometryczną, trzeba osobno sprawdzić przypadek, w którym ta funkcja się zeruje. Tutaj nic nie tracimy, ale sam ten sprawdzian jest częścią pełnego rozwiązania. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{-\frac{2\pi}{3},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{6}\right\}\).

**(dla sposobów I–III)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **4 pkt** – zapisanie założenia \(\cos x\neq0\) oraz rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\): \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO – rozwiązanie jednego z równań alternatywy \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\), gdzie \(x\neq\tfrac{\pi}{2}+\pi k\) i \(k\in\mathbb{Z}\), w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\) i \(\tfrac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\tfrac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobów I oraz III), ALBO – rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobów I oraz III), ALBO – zapisanie założenia \(\cos(2x)\neq0\) oraz rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\): \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\) (dla sposobu II), ALBO – rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II). **3 pkt** – zapisanie założenia \(\cos x\neq0\) oraz rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\) i \(\tfrac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\) i \(\tfrac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobów I oraz III), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobów I oraz III) ALBO – zapisanie założenia \(\cos(2x)\neq0\) oraz rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu II), ALBO – przekształcenie równania do postaci \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II). **2 pkt** – przekształcenie równania do alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO – przekształcenie równania do postaci \(-3\operatorname{tg}^2x+2\sqrt{3}\operatorname{tg}x+3=0\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobu I), ALBO – przekształcenie równania do postaci \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) (dla sposobu II). **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(-3\operatorname{tg}^2x+2\sqrt{3}\operatorname{tg}x+3=0\) (dla sposobu I) ALBO – zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II), ALBO – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci \((\sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x+2\sin x)=0\) (dla sposobu III), ALBO – uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobów I oraz III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **4 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin\left(\tfrac{\pi}{3}+2x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu IV), ALBO – rozwiązanie równania \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}-2x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu IV), ALBO – rozwiązanie obydwu równań alternatywy \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\) i \(\tfrac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\tfrac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobu V), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\) i \(\tfrac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\tfrac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobu V). **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(\sin\left(\tfrac{\pi}{3}+2x\right)=0\) (dla sposobu IV) ALBO – przekształcenie równania do postaci \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}-2x\right)=0\) (dla sposobu IV), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V), – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)+\tfrac{1}{2}\sin(2x)=0\) (dla sposobu IV) ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) (dla sposobu V), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) (dla sposobu V). **1 pkt** – zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu IV) ALBO – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci \((\sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x+2\sin x)=0\) (dla sposobu V), ALBO – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika \(\Delta\) trójmianu kwadratowego \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x\) zmiennej np. \(\cos x\): \(\Delta=\left(4\sqrt{3}\sin x\right)^2\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów, b) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów, c) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej, ale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci \(\sin(ax+b)=c\), \(\cos(ax+b)=c\), gdzie \(a\neq0\), \(a^2\neq1\), \(b\neq0\), \(c\in[-1,1]\), i rozwiązanie doprowadzi konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony równania \(3\cos(2x)=-\sqrt{3}\sin(2x)\) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy wszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie odrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie \(a(x)\) zawierające niewiadomą \(x\) i nie zapisze założenia \(a(x)\neq0\), ani też nie rozważa przypadku \(a(x)=0\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.5R) Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów; 6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].