Zadanie 14 – matura z matematyki maj 2024, poziom rozszerzony

\(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\). Pole jest sumą pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych, więc \(15=|AB|\sqrt{5}\) i \(|AB|=3\sqrt{5}\). Stąd \(|AS|^{2}=50\), a dla \(S=(s,s+1)\) otrzymujemy \(2(s-1)^{2}=50\).

**Krok \(1\).** Metoda: czworokąt \(ABSC\) jest deltoidem złożonym z dwóch przystających trójkątów prostokątnych; z jego pola wyznaczymy \(|AS|\), a potem skorzystamy z tego, że \(S\) leży na danej prostej. **Krok \(2\).** Promienie \(SB\) i \(SC\) poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych \(AB\) i \(AC\), więc trójkąty \(ABS\) i \(ACS\) są prostokątne odpowiednio przy wierzchołkach \(B\) i \(C\). Mają wspólną przeciwprostokątną \(AS\) i równe przyprostokątne \(|SB|=|SC|=\sqrt{5}\), więc są przystające i \(|AB|=|AC|\). **Krok \(3\).** Pole czworokąta jest sumą pól tych trójkątów: \[15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\sqrt{5}=|AB|\sqrt{5},\qquad |AB|=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}.\] **Krok \(4\).** Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABS\): \[|AS|^{2}=|AB|^{2}+|BS|^{2}=45+5=50.\] **Krok \(5\).** Punkt \(S\) leży na prostej \(y=x+1\), więc \(S=(s,s+1)\). Zapisujemy warunek \(|AS|^{2}=50\) dla \(A=(1,2)\): \[(s-1)^{2}+(s+1-2)^{2}=50,\qquad 2(s-1)^{2}=50,\qquad (s-1)^{2}=25.\] **Krok \(6\).** Stąd \(|s-1|=5\), czyli \(s=6\) albo \(s=-4\), a więc \[S=(6,7)\quad\text{lub}\quad S=(-4,-3).\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy założenie: w obu przypadkach \(|AS|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\gt\sqrt{5}\), więc punkt \(A\) leży na zewnątrz okręgu i obie styczne istnieją. Oba rozwiązania są dobre. **Uwaga.** Punkt \(A=(1,2)\) sam leży na prostej \(y=x+1\), więc odległość \(|AS|\) mierzymy wzdłuż tej prostej: \(|AS|=|s-1|\sqrt{2}\). Z równania \(|s-1|\sqrt{2}=5\sqrt{2}\) natychmiast dostajemy \(|s-1|=5\) — to skrót do Kroku \(6\). Odpowiedź musi zawierać oba położenia \(S\) — po jednym z każdej strony punktu \(A\). **Odpowiedź.** \(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(S=(6,\,7)\) oraz \(S=(-4,\,-3)\). **4 pkt** – obliczenie obydwu wartości \(x_{S}\): \(6\) oraz \((-4)\) ALBO – obliczenie obydwu współrzędnych punktu \(S\) tylko dla jednego przypadku: \(S=(6,\,7)\) albo \(S=(-4,\,-3)\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \(S\)), np. \((x_{S}-1)^{2}+(x_{S}+1-2)^{2}=50\), \(\frac{\lvert 2x_{S}-(x_{S}+1)\rvert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{5}\), \((x_{S}-(-5))^{2}+(x_{S}+1-(-1))^{2}=5\), \((x_{S}-(-2))^{2}+(x_{S}+1-(-4))^{2}=5\), \((x_{S}-4)^{2}+(x_{S}+1-8)^{2}=5\), \((x_{S}-7)^{2}+(x_{S}+1-5)^{2}=5\). **2 pkt** – obliczenie długości \(m\) odcinka \(AB\) (lub \(AC\)) stycznej: \(3\sqrt{5}\) ALBO – obliczenie długości odcinka \(AS\): \(\lvert AS\rvert=5\sqrt{2}\). **1 pkt** – zapisanie współrzędnych punktu \(S\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(S=(x,\,x+1)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \(m\) odcinka \(AB\) stycznej), np. \(15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot m\cdot\sqrt{5}\), ALBO – zapisanie układ trzech równań: \(\lvert z\rvert^{2}=a^{2}+a^{2}-2a\cdot a\cdot\cos\alpha\) oraz \(\lvert z\rvert^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\) oraz \(15=\frac{1}{2}\cdot a^{2}\cdot\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{5})^{2}\cdot\sin(180^\circ-\alpha)\), gdzie \(z=\lvert BC\rvert\), \(a=\lvert AB\rvert\), \(\alpha=\lvert\measuredangle BAC\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \(\frac{1}{2}\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy. 2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \(S\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów. 8.1R) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.