Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 15, maj 2024, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^2-(3m+1)x+2m^2+m+1=0\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\) spełniające warunek
\[x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2-3)\leq3m-7.\]
Odpowiedź
\[m\in(-\infty,-3).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy
\[\Delta=(3m+1)^2-4(2m^2+m+1)=m^2+2m-3>0.\]
Zatem
\[(m-1)(m+3)>0,\]
czyli
\[m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty).\quad(1)\]
Z wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=3m+1,\qquad x_1x_2=2m^2+m+1.\]
Korzystamy z tożsamości
\[x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2).\]
Lewa strona warunku z zadania jest więc równa
\[(x_1+x_2)^3-9x_1x_2.\]
Po podstawieniu wzorów Viète'a otrzymujemy
\[(3m+1)^3-9(2m^2+m+1)\leq3m-7,\]
czyli
\[27m^3+9m^2-3m-1\leq0.\]
Po rozłożeniu na czynniki
\[(3m-1)(3m+1)^2\leq0,\]
stąd
\[m\leq\frac13.\quad(2)\]
Część wspólna zbiorów \((1)\) i \((2)\) jest równa
\[m\in(-\infty,-3).\]
Klucz i zasady oceniania
Rozwiązanie składa się z trzech etapów.
**Etap I: 1 pkt** – poprawne rozwiązanie warunku \(\Delta>0\): \(m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\)
**Etap II: 4 pkt** – poprawne przekształcenie warunku na pierwiastki z wykorzystaniem wzorów Viète'a i wyznaczenie \(m\in(-\infty,\frac13\rangle\)
**3 pkt** – zapisanie nierówności równoważnej warunkowi i co najmniej dwóch miejsc zerowych odpowiedniego wielomianu
**2 pkt** – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\) prowadzącej do wyniku
**1 pkt** – przekształcenie warunku do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète'a
**Etap III: 1 pkt** – wyznaczenie części wspólnej warunków z etapów I i II: \(m\in(-\infty,-3)\)
**Na każdym etapie: 0 pkt** – oznacza rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
3.1 R) Zdający stosuje wzory Viète'a.
3.2 R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.
