Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 12, maj 2024, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^2-(3m+1)x+2m^2+m+1=0\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\) spełniające warunek
\[x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2-3)\leq3m-7.\]
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[m\in(-\infty,-3).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych daje
\[\Delta=m^2+2m-3=(m-1)(m+3)>0,\]
czyli
\[m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty).\tag{1}\]
Z wzorów Viète'a \(x_1+x_2=3m+1\) oraz \(x_1x_2=2m^2+m+1\). Ponieważ
\[x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2),\]
warunek z zadania sprowadza się do
\[(3m+1)^3-9(2m^2+m+1)\leq3m-7.\]
Po uproszczeniu
\[(3m-1)(3m+1)^2\leq0,\]
stąd \(m\leq\frac13\). Część wspólna z warunkiem \((1)\) jest równa
\[m\in(-\infty,-3).\]
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Rozwiązanie składa się z trzech etapów.
**Etap I: 1 pkt** – poprawne rozwiązanie warunku \(\Delta>0\)
**Etap II: 4 pkt** – poprawne przekształcenie warunku na pierwiastki z wykorzystaniem wzorów Viète'a i wyznaczenie \(m\leq\frac13\); niższe poziomy za poprawne etapy pośrednie
**Etap III: 1 pkt** – wyznaczenie części wspólnej warunków: \(m\in(-\infty,-3)\)
**Na każdym etapie: 0 pkt** – oznacza rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
3.1 R) Zdający stosuje wzory Viète'a.
3.2 R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.
