Geometria analityczna
Zadanie 10, maj 2021, poziom rozszerzony
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8,-6)\) i \(B=(5{,}15)\) jest styczna do okręgu o środku \(O=(0{,}0)\). Oblicz promień okręgu i współrzędne punktu styczności z prostą AB.
Odczyt redakcyjny — współrzędne zapisane jak liczba dziesiętna
Prawdopodobny zapis: \(B=(5,15)\) oraz \(O=(0,0)\) — pary współrzędnych; \(O\) to początek układu, nie liczba \(0{,}0\).
obie pary rozdzielono makrem \(\{,\}\), a sąsiedni \(A=(8,-6)\) ma zwykły przecinek; prosta przez \((8,-6)\) i \((5,15)\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac{15-(-6)}{5-8}=-7\) i równanie \(y=-7x+50\) — dokładnie to równanie podaje klucz CKE, tak samo jak \(|AB|=15\sqrt{2}\) (bo \(\sqrt{9+441}=\sqrt{450}\)) i \(P_{\Delta AOB}=75\). Odległość \((0,0)\) od tej prostej to \(\frac{50}{\sqrt{50}}=5\sqrt{2}\), a przecięcie z prostopadłą \(y=\frac{x}{7}\) daje \(50x=350\), czyli punkt styczności \((7,1)\) — jak w odpowiedzi.
Odpowiedź
Promień jest równy \(5\sqrt{2}\), a punkt styczności ma współrzędne P=(\(7\),\(1\)). Prosta AB ma równanie y=−\(7x\)+\(50\). Jej odległość od O wynosi \(50\)/√\(50=5\sqrt{2}\), a prosta OP prostopadła do AB ma równanie y=x/\(7\); przecięcie daje P.
Rozwiązanie krok po kroku
Wyznaczamy równanie prostej \(AB\). Jej współczynnik kierunkowy wynosi
\[a=\frac{15-(-6)}{5-8}=-7,\]
a z warunku przechodzenia przez \(A=(8,-6)\) otrzymujemy \(b=50\), czyli
\[AB:\ y=-7x+50\qquad\text{lub}\qquad 7x+y-50=0.\]
Promień okręgu stycznego jest odległością środka \(O=(0,0)\) od tej prostej:
\[r=\frac{|7\cdot0+0-50|}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}=\frac{50}{\sqrt{50}}=\sqrt{50}=5\sqrt2.\]
Punkt styczności jest spodkiem prostopadłej opuszczonej z \(O\) na \(AB\). Prosta \(OP\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac17\), więc \(y=\frac17x\), a z układu
\[\frac17x=-7x+50\quad\Longrightarrow\quad 50x=350\quad\Longrightarrow\quad x=7,\qquad y=1.\]
**Odpowiedź.** \(r=5\sqrt2\) oraz \(P=(7,1)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy:
• wyznaczy równanie prostej \(AB\), np.: \(y=-7x+50\)
ALBO
• obliczy długość odcinka \(AB\) oraz pole trójkąta \(AOB\): \(\lvert AB\rvert=15\sqrt{2}\), \(P_{\Delta AOB}=75\)
ALBO
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do \(AB\): \(y=\frac{1}{7}x\)
**2 pkt** – gdy:
• zapisze układ równań złożony z równań dwóch prostych: \(\begin{cases}y=\frac{1}{7}x\\ y=-7x+50\end{cases}\)
ALBO
• obliczy promień okręgu, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej lub obliczając wysokość trójkąta \(AOB\): \(r=5\sqrt{2}\)
ALBO
• zapisze, że punkt styczności prostej \(AB\) do okręgu ma współrzędne \(P=(x_{0},f(x_{0}))\) i \(f'(x_{0})=-7\), gdzie \(f(x)=\sqrt{50-x^{2}}\) i \(50-x^{2}>0\)
ALBO
• zapisze odległość \(g\) (lub kwadrat odległości) punktu \((0,\,0)\) od dowolnego punktu prostej \(AB\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(g(x)=\sqrt{x^{2}+(-7x+50)^{2}}\)
ALBO
• wyznaczy równanie prostej \(AB\) oraz poda współrzędne wektora prostopadłego do prostej \(AB\)
**3 pkt** – gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, prowadzące do obliczenia współrzędnych punktu styczności, np.: \(\frac{1}{7}x=-7x+50\) lub \(x^{2}+\left(\frac{1}{7}x\right)^{2}=50\), lub \(x^{2}+(-7x+50)^{2}=50\), lub \(\frac{-2x}{2\sqrt{50-x^{2}}}=-7\), lub \(\sqrt{\left(x^{2}+(-7x+50)^{2}\right)}=\frac{\lvert 7\cdot 0+0-50\rvert}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}\)
**4 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy promień okręgu oraz współrzędne punktu styczności prostej \(AB\) do okręgu: \(r=5\sqrt{2}\), \(P=(7,\,1)\).
**Uwagi:**
1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i jedynym błędem zdającego, który jednak nie ułatwia zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na:
a) zastosowaniu nieistniejącego wzoru \(\sqrt{a^{2}\pm b^{2}}=a\pm b\) lub \((a\pm b)^{2}=a^{2}\pm b^{2}\)
b) niepoprawnym użyciu współrzędnych punktów \(A\) i \(B\) przy wyznaczaniu równania prostej \(AB\)
c) niepoprawnym zastosowaniu wzoru na odległość punktu od prostej lub na odległość dwóch punktów, lub wzoru na pole trójkąta, lub równania okręgu
d) niepoprawnym wyznaczeniu współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej prostej
e) wyznaczeniu jednej z niewiadomych z równania \(x^{2}+y^{2}=50\) bez koniecznych założeń
to zdający otrzymuje co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej \(AB\) i obliczy promień okręgu stycznego do prostej \(AB\), a następnie poda (bez obliczeń) współrzędne punktu styczności, to otrzymuje: \(3\) punkty za całe rozwiązanie, jeśli nie sprawdzi rachunkiem, że punkt \(P=(7,\,1)\) należy do prostej \(AB\) oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej \(AB\) i okręgu); \(4\) punkty za całe rozwiązanie, jeśli sprawdzi, wykonując stosowne obliczenia, że punkt \(P=(7,\,1)\) należy do prostej \(AB\) oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej \(AB\) i okręgu).
3. Jeżeli zdający odczyta z rysunku współrzędne punktu styczności \(P=(7,1)\) (bez obliczeń) i obliczy długość promienia, to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i poda bez stosownych obliczeń współrzędne punktu styczności \(P=(7,1)\) i obliczy długość promienia, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2021**
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
P8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);
R8.1) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.
