Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 9, maj 2021, poziom rozszerzony
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez \(15\), jeśli wiadomo, że jest podzielna przez \(18\).
Odpowiedź
P(A|B)=\(\frac{1}{5}\). Wśród liczb czterocyfrowych jest \(500\) wielokrotności \(18\). Liczby podzielne jednocześnie przez \(15\) i \(18\) są wielokrotnościami \(90\); jest ich \(100\). Zatem P(A|B)=\(\frac{100}{500}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(A\) oznacza zdarzenie „wylosowana liczba jest podzielna przez \(15\)", a \(B\) — „jest podzielna przez \(18\)". Szukamy \(P(A\mid B)\).
Warunek zawęża przestrzeń do czterocyfrowych wielokrotności \(18\). Są to \(1008,1026,\ldots,9990\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(18\), więc
\[|B|=\frac{9990-1008}{18}+1=\frac{8982}{18}+1=499+1=500.\]
Liczba podzielna jednocześnie przez \(15\) i \(18\) jest podzielna przez \(\operatorname{NWW}(15,18)=90\). Czterocyfrowe wielokrotności \(90\) to \(1080,1170,\ldots,9990\), zatem
\[|A\cap B|=\frac{9990-1080}{90}+1=\frac{8910}{90}+1=99+1=100.\]
Wszystkie liczby czterocyfrowe są jednakowo prawdopodobne, więc
\[P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{100}{500}=\frac15.\]
**Odpowiedź.** \(P(A\mid B)=\frac15\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy:
• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: \(\lvert\Omega\rvert=9000\)
ALBO
• zastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru \(B\), zawierającego wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe podzielne przez \(18\) (np. poprzez wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych)
ALBO
• zastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru \(A\cap B\) (np. poprzez wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych)
ALBO
• zapisze, że jeżeli \(A\) jest zdarzeniem polegającym na wylosowaniu liczby podzielnej przez \(15\), to iloczyn zdarzeń \(A\cap B\) oznacza wylosowanie liczby podzielnej przez \(90\)
**2 pkt** – gdy:
• obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(B\): \(\lvert B\rvert=500\)
ALBO
• obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\cap B\): \(\lvert A\cap B\rvert=100\)
**3 pkt** – gdy obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(B\) oraz obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\cap B\): \(\lvert B\rvert=500\), \(\lvert A\cap B\rvert=100\)
**4 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy szukane prawdopodobieństwo warunkowe: \(P(A|B)=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\).
**Uwagi:**
1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie, rozpatrując wszystkie liczby naturalne spełniające warunek \(1\le x\le 9999\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeśli zdający, wyznaczając, ile jest liczb podzielnych przez \(18\) lub \(15\), rozważa, że są one mniejsze niż \(9000\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.
3. Ignorujemy zapis \(P(A|B)=\frac{\lvert A\cup B\rvert}{\lvert B\rvert}\), jeżeli z rozwiązania zdającego jednoznacznie wynika, że zliczał wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające iloczynowi tych zdarzeń.
4. Jeżeli w sposobie zliczania elementów zbioru \(\lvert B\rvert\) (lub \(\lvert A\cap B\rvert\)) opartym na kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego zdający poprawnie ustala pierwszy i ostatni wyraz ciągu oraz różnicę tego ciągu, to przyjmujemy ten sposób zliczania jest poprawny. Jeżeli natomiast błędnie ustali pierwszy lub ostatni wyraz ciągu, lub różnicę tego ciągu, to sposób uznajemy za niepoprawny. Jeżeli zdający podzieli zbiór wszystkich liczb całkowitych czterocyfrowych na rozłączne niepuste podzbiory i zlicza liczby podzielne przez \(18\) (lub \(90\)) w każdym z tych podzbiorów, to ten sposób uznajemy za poprawny tylko wtedy, gdy popełni błąd w zliczaniu co najwyżej w jednym z tych podzbiorów.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2021**
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R10.2) Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.
