Geometria płaska
Zadanie 11, maj 2019, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których okręgi o równaniach
\[x^2+y^2-12x-8y+43=0\]
oraz
\[x^2+y^2-2ax+4y+a^2-77=0\]
mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Odpowiedź
\[a\in\{6-6\sqrt3,\ 6,\ 6+6\sqrt3\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Sprowadzamy równania do postaci kanonicznej:
\[(x-6)^2+(y-4)^2=9,\qquad (x-a)^2+(y+2)^2=81.\]
Okręgi mają środki \(S_1=(6,4)\), \(S_2=(a,-2)\) i promienie odpowiednio \(3\) oraz \(9\). Odległość środków wynosi
\[d=\sqrt{(a-6)^2+36}.\]
Dokładnie jeden punkt wspólny występuje przy styczności zewnętrznej lub wewnętrznej. Dla styczności zewnętrznej \(d=3+9=12\), więc
\[(a-6)^2+36=144,\qquad a=6\pm6\sqrt3.\]
Dla styczności wewnętrznej \(d=9-3=6\), zatem
\[(a-6)^2+36=36,\qquad a=6.\]
Wszystkie szukane wartości to \(6-6\sqrt3\), \(6\) i \(6+6\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – wyznaczenie wszystkich trzech wartości parametru
**5 pkt** – poprawne rozwiązanie obu przypadków styczności z jedną drobną usterką rachunkową
**4 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego przypadku styczności oraz zapisanie warunku dla drugiego
**3 pkt** – wyznaczenie środków i promieni obu okręgów oraz zapisanie obu warunków: \(d=12\) i \(d=6\)
**2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla styczności zewnętrznej albo wewnętrznej
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie środków i promieni obu okręgów
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R8.5 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) oraz opisywanie wzajemnego położenia okręgów za pomocą odległości ich środków i promieni.
