Zadanie 14 – matura z matematyki maj 2018, poziom rozszerzony

B=(−\(\frac{17}{5}\),\(\frac{31}{5}\)), C=(−\(3\),−\(\frac{13}{3}\)). Styczne z A=(\(7\),−\(1\)) do okręgu \(x^{2}\)+\(y^{2}\)=\(10\) mają równania y=x/\(3\)−\(\frac{10}{3}\) oraz y=−\(\frac{9x}{13+50}\)/\(13\). Pierwsza przechodzi przez trzecią ćwiartkę, więc jest prostą AC. Oś symetrii trójkąta przechodzi przez (\(0\),\(0\)), jest prostopadła do AB i ma równanie y=\(\frac{13x}{9}\); jej przecięcie z AC daje C. Punkt styczności D=(\(\frac{9}{5}\),\(\frac{13}{5}\)) jest środkiem AB, skąd otrzymujemy B.

Okrąg wpisany ma środek \(O=(0,0)\) i promień \(r=\sqrt{10}\). Proste \(AB\) i \(AC\) są styczne do tego okręgu i przechodzą przez \(A=(7,-1)\). Prosta \(y=ax+b\) przechodząca przez \(A\) spełnia \(b=-1-7a\); warunek styczności \(\frac{\lvert b\rvert}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\) daje \[(1+7a)^2=10(a^2+1),\qquad 39a^2+14a-9=0,\] skąd \(a=\frac13\) albo \(a=-\frac{9}{13}\). Styczne mają zatem równania \[k_1:\ y=\tfrac13x-\tfrac{10}{3},\qquad k_2:\ y=-\tfrac{9}{13}x+\tfrac{50}{13}.\] Obie współrzędne punktu \(C\) są ujemne, a spośród tych prostych tylko \(k_1\) przechodzi przez trzecią ćwiartkę. Zatem \(AC\subset k_1\) oraz \(AB\subset k_2\). W trójkącie równoramiennym o \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\) dwusieczna kąta \(ACB\) jest jednocześnie osią symetrii i wysokością opuszczoną na \(AB\); przechodzi ona przez środek okręgu wpisanego \(O\). Prosta ta jest prostopadła do \(k_2\) i przechodzi przez \((0,0)\), więc ma równanie \[y=\tfrac{13}{9}x.\] Punkt \(C\) jest jej przecięciem z \(k_1\): \[\tfrac{13}{9}x=\tfrac13x-\tfrac{10}{3},\qquad 13x=3x-30,\qquad x=-3,\qquad y=-\tfrac{13}{3}.\] Obie współrzędne są ujemne, więc \(C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right)\). Prosta \(BC\) przechodzi przez \(C\) i jest styczna do okręgu. Dla \(y+\frac{13}{3}=m(x+3)\) warunek styczności daje \[\left(3m-\tfrac{13}{3}\right)^2=10(m^2+1),\qquad m^2+26m-\tfrac{79}{9}=0,\] czyli \(m=\frac13\) (to prosta \(k_1\), czyli \(AC\)) albo \(m=-\frac{79}{3}\). Drugi pierwiastek wyznacza prostą \(BC\). Punkt \(B\) to przecięcie prostej \(BC\) z \(k_2\): \[-\tfrac{9}{13}x+\tfrac{50}{13}+\tfrac{13}{3}=-\tfrac{79}{3}(x+3),\qquad x=-\tfrac{17}{5},\qquad y=\tfrac{31}{5}.\] Sprawdzenie: \(\lvert AC\rvert=\sqrt{10^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2}=\frac{10\sqrt{10}}{3}\) oraz \(\lvert BC\rvert=\sqrt{\left(\frac25\right)^2+\left(\frac{158}{15}\right)^2}=\frac{10\sqrt{10}}{3}\). **Odpowiedź.** \(B=\left(-\dfrac{17}{5},\dfrac{31}{5}\right)\), \(C=\left(-3,-\dfrac{13}{3}\right)\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie równań obu stycznych poprowadzonych z punktu \(A\). **3–5 pkt** – wskazanie, która styczna zawiera \(AC\), i wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\). **6 pkt** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje się równaniem okręgu (x−a)²+(y−b)²=r², wyznacza współrzędne środka odcinka, równanie prostej równoległej lub prostopadłej, punkt przecięcia prostych, punkty wspólne prostej i okręgu oraz odległość punktu od prostej (R8.5, 8.5, 8.3, 8.4, R8.6, R8.4).