Funkcje
Zadanie 15, maj 2018, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy \(a\) i wysokości trapezu jest równa \(2\).
**a)** Wyznacz wszystkie wartości \(a\), dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
**b)** Wykaż, że obwód \(L\) takiego trapezu, jako funkcja długości \(a\) dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem
\[L(a)=\frac{4a^2-8a+8}{a}.\]
**c)** Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.
Odpowiedź
\[a\in(1,2),\qquad L(a)=\frac{4a^2-8a+8}{a}.\]
Najmniejszy obwód występuje dla \(a=\sqrt2\), a tangens kąta ostrego jest równy
\[1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy krótszą podstawę przez \(b\), wysokość przez \(h\), a ramię przez \(c\). Z warunku zadania
\[h=2-a.\]
Dłuższa podstawa musi być dłuższa od wysokości, a wysokość dodatnia, więc \(a>2-a\) i \(a<2\). Stąd
\[a\in(1,2).\]
Dla trapezu równoramiennego opisanego na okręgu zachodzi \(a+b=2c\). Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta przy ramieniu:
\[c^2=h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.\]
Po użyciu \(c=\frac{a+b}{2}\) otrzymujemy \(h^2=ab\), zatem
\[b=\frac{(2-a)^2}{a}.\]
Obwód wynosi
\[L=2(a+b)=2a+2\frac{(2-a)^2}{a}=\frac{4a^2-8a+8}{a}.\]
Pochodna ma postać
\[L'(a)=4-\frac8{a^2}=\frac{4(a^2-2)}{a^2}.\]
W przedziale \((1,2)\) funkcja maleje do \(a=\sqrt2\), a następnie rośnie, więc tam osiąga minimum. Dla kąta ostrego \(\alpha\) mamy
\[\tan\alpha=\frac{h}{(a-b)/2}.\]
Po podstawieniu \(a=\sqrt2\), \(h=2-\sqrt2\) i \(b=\frac{(2-\sqrt2)^2}{\sqrt2}\) otrzymujemy
\[\tan\alpha=1.\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – wykonanie wszystkich trzech części i obliczenie \(\tan\alpha=1\)
**6 pkt** – poprawne uzasadnienie, że najmniejszy obwód występuje dla \(a=\sqrt2\), bez poprawnego tangensa
**5 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej i rozpoczęcie poprawnej analizy minimum
**4 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej funkcji \(L\)
**3 pkt** – wyznaczenie dziedziny \((1,2)\), poprawnej zależności między \(a\) i \(b\) oraz wykazanie wzoru na \(L(a)\)
**2 pkt** – poprawne wykonanie dwóch części pierwszego etapu CKE
**1 pkt** – poprawne wykonanie jednej części: dziedziny, zależności \(h^2=ab\) lub przekształcenia obwodu
**0 pkt** – brak istotnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.5 zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
R11.6 zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
