Geometria płaska
Zadanie 13, maj 2017, poziom rozszerzony
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(-5{,}3)\) i \(B=(0{,}6)\), którego środek leży na prostej \(x-3y+1=0\).
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: \(A=(-5,3)\) oraz \(B=(0,6)\) — pary współrzędnych, nie liczby dziesiętne.
w zapisie zastanym obie pary rozdzielono makrem \(\{,\}\); okrąg przechodzący przez dwa punkty wymaga par współrzędnych, a rachunki w kluczu CKE odwołują się do wartości \(-5\), \(3\), \(0\), \(6\).Odpowiedź
\[x^{2}+\left(y-\tfrac13\right)^{2}=\frac{289}{9}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Środek \(S\) okręgu jest równo oddalony od \(A\) i \(B\), leży więc na symetralnej odcinka \(AB\).
Środek odcinka \(AB\) to \(\left(-\frac52,\frac92\right)\), a wektor \(\vec{AB}=[5,3]\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac35\); symetralna ma współczynnik \(-\frac53\):
\[y-\tfrac92=-\tfrac53\left(x+\tfrac52\right),\qquad y=-\tfrac53x+\tfrac13.\]
Z warunku, że \(S\) leży na prostej \(x-3y+1=0\), czyli \(x=3y-1\), otrzymujemy
\[y=-\tfrac53\left(3y-1\right)+\tfrac13=-5y+2,\qquad 6y=2,\qquad y=\tfrac13,\qquad x=0.\]
Zatem \(S=\left(0,\frac13\right)\).
Promień:
\[r^2=\lvert SA\rvert^2=(-5-0)^2+\left(3-\tfrac13\right)^2=25+\frac{64}{9}=\frac{289}{9},\qquad r=\frac{17}{3}.\]
Sprawdzenie dla \(B\): \(0^2+\left(6-\frac13\right)^2=\frac{289}{9}\).
**Odpowiedź.** \(x^{2}+\left(y-\frac13\right)^{2}=\frac{289}{9}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\).
**3–4 pkt** – wyznaczenie środka \(S=\left(0,\frac13\right)\).
**5 pkt** – obliczenie promienia i zapisanie równania okręgu.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje się równaniem okręgu (x−a)²+(y−b)²=r², wyznacza współrzędne środka odcinka, równanie prostej równoległej lub prostopadłej, punkt przecięcia prostych oraz odległość dwóch punktów (R8.5, 8.5, 8.3, 8.4, 8.6).
