Równania kwadratowe
Zadanie 14, maj 2017, poziom rozszerzony
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, a ich suma jest równa \(27\). Ciąg
\[(a-2,b,2c+1)\]
jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a\), \(b\) i \(c\).
Odpowiedź
\[(a,b,c)=(5,9,13)\quad\text{lub}\quad(a,b,c)=\left(\frac{31}{2},9,\frac52\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Wtedy \(a=b-r\), \(c=b+r\), a z \(a+b+c=27\) wynika \(b=9\). Warunek geometryczności ciągu \((a-2,b,2c+1)\) daje
\[81=(7-r)(2r+19).\]
Stąd \(r=4\) lub \(r=-\frac{13}{2}\). Otrzymujemy odpowiednio \((a,b,c)=(5,9,13)\) oraz \((a,b,c)=(\frac{31}{2},9,\frac52)\).
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – podanie obu zestawów
**5 pkt** – poprawne wyznaczenie jednego zestawu
**4 pkt** – poprawne rozwiązanie otrzymanego równania kwadratowego
**3 pkt** – sprowadzenie warunków do równania z jedną niewiadomą, np. \(81=(7-r)(2r+19)\)
**2 pkt** – zapisanie zależności wynikających z obu ciągów
**1 pkt** – poprawna parametryzacja ciągu arytmetycznego albo jedna poprawna zależność
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny i równania kwadratowe.
