Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 12, maj 2017, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[4x^2-6mx+(2m+3)(m-3)=0\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1<x_2\) spełniające nierówność
\[(4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0.\]
Odpowiedź
\[m\in\left(-\frac{13}{2},-6\right)\cup\left(-6,-\frac{11}{2}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek dwóch różnych pierwiastków daje
\[\Delta=36m^2-16(2m^2-3m-9)=4(m+6)^2>0,\]
czyli \(m\neq-6\). Druga nierówność jest równoważna
\[16(x_1-x_2)^2-1<0.\]
Ze wzorów Viète'a: \(x_1+x_2=\frac{3m}{2}\), \(x_1x_2=\frac{2m^2-3m-9}{4}\). Po podstawieniu otrzymujemy
\[4m^2+48m+143<0,\]
więc \(m\in(-\frac{13}{2},-\frac{11}{2})\). Po wykluczeniu \(m=-6\) otrzymujemy odpowiedź.
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.*
**Etap I: 1 pkt** – rozwiązanie \(\Delta>0\), czyli \(m\neq-6\).
**Etap II: 3 pkt** – 1 pkt za zapis z sumą i iloczynem pierwiastków lub jawne wyznaczenie pierwiastków; 2 pkt za otrzymanie nierówności z jedną niewiadomą, np. \(4m^2+48m+143<0\); 3 pkt za jej rozwiązanie \(m\in\left(-\tfrac{13}{2},-\tfrac{11}{2}\right)\).
**Etap III: 1 pkt** – przecięcie warunków i wykluczenie \(-6\).
**Rozwiązanie ma trzy etapy: 5 pkt** – rozwiązanie pełne.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
wzory Viète'a, wyróżnik i nierówności kwadratowe z parametrem.
