Okręgi i koła
Zadanie 8, maj 2014, poziom rozszerzony
Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym
\[A=(0,2\sqrt3),\qquad B=(2,0),\]
a punkt \(C\) leży na osi \(Ox\). Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie, przechodzącej przez wierzchołek \(E\).
Odpowiedź
Równanie stycznej ma postać
\[y=-\frac{\sqrt3}{3}x+6\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość boku sześciokąta jest równa
\[|AB|=\sqrt{(2-0)^2+(0-2\sqrt3)^2}=4.\]
Ponieważ \(C\) leży na osi \(Ox\), mamy \(C=(6,0)\). Środek okręgu opisanego na sześciokącie jest punktem
\[S=(4,2\sqrt3),\]
a wierzchołek przeciwny do \(B\) ma współrzędne
\[E=(6,4\sqrt3).\]
Promień \(SE\) ma współczynnik kierunkowy \(\sqrt3\), zatem prostopadła do niego styczna ma współczynnik \(-\frac1{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}\). Prosta przechodząca przez \(E\) ma więc równanie
\[y-4\sqrt3=-\frac{\sqrt3}{3}(x-6),\]
czyli
\[y=-\frac{\sqrt3}{3}x+6\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne równanie stycznej
**3 pkt** – poprawny współczynnik kierunkowy stycznej i współrzędne punktu \(E\)
**2 pkt** – wyznaczenie \(E=(6,4\sqrt3)\) albo wskazanie prostej równoległej do stycznej
**1 pkt** – poprawne obliczenie długości boku lub współczynnika kierunkowego odpowiedniego promienia
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający rozwiązuje zadania dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz wyznacza równanie prostej prostopadłej.
