Logarytmy
Zadanie 7, maj 2014, poziom rozszerzony
Ciąg geometryczny \((a_n)\) ma \(100\) wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz
\[\log a_1+\log a_2+\log a_3+\ldots+\log a_{100}=100.\]
Oblicz \(a_1\).
Odpowiedź
\[a_1=10^{100}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Suma wyrazów nieparzystych ma postać
\[a_1(1+q^2+\ldots+q^{98}),\]
a suma wyrazów parzystych
\[a_1q(1+q^2+\ldots+q^{98}).\]
Ich iloraz jest równy \(\frac1q=100\), więc
\[q=\frac1{100}=10^{-2}.\]
Warunek z logarytmami oznacza
\[\log(a_1a_2\cdots a_{100})=100,\]
czyli \(a_1a_2\cdots a_{100}=10^{100}\). Iloczyn stu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy
\[a_1^{100}q^{0+1+\ldots+99}=a_1^{100}q^{4950}.\]
Stąd
\[a_1^{100}10^{-9900}=10^{100},\qquad a_1^{100}=10^{10000}.\]
Ponieważ wyrazy są dodatnie, otrzymujemy \(a_1=10^{100}\).
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawne obliczenie \(a_1=10^{100}\)
**5 pkt** – poprawne równanie \(a_1^{100}(10^{-2})^{4950}=10^{100}\), lecz usterka rachunkowa na końcu
**4 pkt** – zapisanie poprawnego równania z niewiadomą \(a_1\) po wyznaczeniu \(q\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q=\frac1{100}\)
**2 pkt** – poprawne porównanie sum wyrazów parzystych i nieparzystych
**1 pkt** – zapisanie obu sum z wspólnym czynnikiem \(1+q^2+\ldots+q^{98}\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający stosuje własności ciągu geometrycznego, wzór na sumę jego wyrazów oraz własności logarytmu iloczynu.
