Trójkąty
Zadanie 9, maj 2014, poziom rozszerzony
Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego \(ABCS\), którego siatkę przedstawiono na rysunku.
Odpowiedź
\[V=15360.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Za podstawę przyjmujemy trójkąt \(ABC\) o bokach \(40\), \(40\), \(48\). Jego wysokość opuszczona na bok długości \(48\) wynosi
\[h_p=\sqrt{40^2-24^2}=32,\]
więc
\[P_{ABC}=\frac12\cdot48\cdot32=768.\]
Wszystkie krawędzie boczne mają długość \(65\), zatem spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Promień tego okręgu wynosi
\[R=\frac{40\cdot40\cdot48}{4\cdot768}=25.\]
Wysokość ostrosłupa jest więc równa
\[H=\sqrt{65^2-25^2}=60.\]
Ostatecznie
\[V=\frac13P_{ABC}H=\frac13\cdot768\cdot60=15360.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawna objętość \(15360\)
**5 pkt** – poprawne pole podstawy i wysokość ostrosłupa, lecz usterka w obliczeniu objętości
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie wysokości ostrosłupa \(H=60\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie promienia okręgu opisanego \(R=25\)
**2 pkt** – poprawne pole podstawy \(768\) i rozpoznanie położenia spodka wysokości
**1 pkt** – poprawne obliczenie wysokości trójkąta podstawy \(32\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach, oblicza promień okręgu opisanego na trójkącie oraz objętość ostrosłupa.
