Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 30, maj 2011, poziom podstawowy
Ze zbioru liczb \(\{1,2,3,\ldots,7\}\) losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez \(3\).
Odpowiedź
Wszystkich uporządkowanych wyników jest \(7^{2}\) = \(49\). Sumę podzielną przez \(3\) daje \(16\) par uporządkowanych. Zatem prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{16}{49}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy ze zwracaniem, więc zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb ze zbioru \(\{1,2,\ldots,7\}\):
\[|\Omega|=7^2=49.\]
O podzielności sumy przez \(3\) decydują reszty z dzielenia przez \(3\). W zbiorze \(\{1,\ldots,7\}\) resztę \(0\) dają liczby \(3\) i \(6\) (dwie liczby), resztę \(1\) — liczby \(1\), \(4\), \(7\) (trzy liczby), resztę \(2\) — liczby \(2\) i \(5\) (dwie liczby).
Suma dwóch reszt dzieli się przez \(3\), gdy obie są równe \(0\) albo gdy jedna jest równa \(1\), a druga \(2\). Stąd
\[|A|=2\cdot2+2\cdot(3\cdot2)=4+12=16,\]
gdzie czynnik \(2\) w drugim składniku uwzględnia obie kolejności reszt.
Zatem
\[P(A)=\frac{16}{49}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{16}{49}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne obliczenie liczby wszystkich wyników 49 albo liczby wyników sprzyjających 16.
2 pkt: poprawne prawdopodobieństwo 16/49.
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia.
