Równania i nierówności
Zadanie 9, maj 2009, poziom rozszerzony
W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) oraz zaznacz punkt \(A=(0,-1)\). Prosta o równaniu \(x=0\) jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt \(A\). Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt \(A\).
Odpowiedź
\(y=-\tfrac34x-1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z równania okręgu odczytujemy środek \(S=(-2,3)\) i promień \(r=2\).
Druga styczna nie jest pionowa, więc ma równanie \(y=ax-1\) (przechodzi przez
\(A=(0,-1)\)), czyli \(ax-y-1=0\).
Prosta jest styczna do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka od niej
równa się promieniowi:
\[\frac{|a\cdot(-2)-3-1|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2,\qquad |2a+4|=2\sqrt{a^{2}+1}.\]
Podnosimy obie strony (nieujemne) do kwadratu:
\[4a^{2}+16a+16=4a^{2}+4,\qquad 16a=-12,\qquad a=-\tfrac34.\]
**Odpowiedź.** \(y=-\tfrac34x-1\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – jeśli narysuje w układzie współrzędnych opisany w zadaniu okrąg i zaznaczy dany punkt \(A\).
**1 pkt** – jeśli zapisze równanie szukanej rodziny stycznych. Poprawna odpowiedź: \(y=ax-1\) lub \(ax-y-1=0\).
**1 pkt** – jeśli zapisze warunek styczności prostej \(k\) o równaniu \(y=ax-1\) i danego okręgu. Poprawna odpowiedź: Odległość środka okręgu \(S\) od prostej \(k\) jest równa promieniowi okręgu.
**1 pkt** – jeśli zapisze równanie z niewiadomą \(a\). Poprawna odpowiedź: \(\frac{\lvert a\cdot(-2)-3-1\rvert}{\sqrt{a^{2}+1}}=2\).
**1 pkt** – jeśli zapisze równanie szukanej stycznej. Poprawna odpowiedź: \(y=-\frac{3}{4}x-1\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
