Równania i nierówności
Zadanie 10, maj 2009, poziom rozszerzony
W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od \(\frac9{22}\).
Odpowiedź
W urnie są \(4\) kule albo \(8\) kul.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie, w którym liczba kul jest niewiadoma, a warunek na prawdopodobieństwo jest nierównością. Plan: wprowadzamy literę na liczbę kul jednego koloru, budujemy model klasyczny (losujemy dwie kule jednocześnie, więc kolejność nie ma znaczenia i liczymy kombinacje), zapisujemy prawdopodobieństwo jako wyrażenie zależne od tej litery i rozwiązujemy nierówność.
**Krok \(2\).** Niech \(n\) oznacza liczbę kul czarnych, gdzie \(n\) jest liczbą naturalną i \(n\geqslant1\). Kul białych jest trzy razy więcej, czyli \(3n\), a wszystkich kul \(n+3n=4n\).
**Krok \(3\).** Liczymy moc zbioru zdarzeń elementarnych, czyli liczbę dwuelementowych podzbiorów zbioru \(4n\) kul: \[|\Omega|=\binom{4n}{2}=\frac{4n(4n-1)}{2}=2n(4n-1).\]
**Krok \(4\).** Zdarzeniu \(A\) (kule różnych kolorów) sprzyjają te pary, w których jedna kula jest czarna, a druga biała. Czarną wybieramy na \(n\) sposobów, białą na \(3n\) sposobów, więc \[|A|=n\cdot3n=3n^2.\]
**Krok \(5\).** Stąd \[P(A)=\frac{3n^2}{2n(4n-1)}=\frac{3n}{2(4n-1)}.\]
**Krok \(6\).** Zapisujemy warunek zadania: \[\frac{3n}{2(4n-1)}\gt\frac{9}{22}.\] Oba mianowniki są dodatnie (bo \(4n-1\geqslant3\)), więc wolno pomnożyć na krzyż bez zmiany znaku nierówności: \[22\cdot3n\gt9\cdot2(4n-1),\qquad 66n\gt72n-18,\qquad 18\gt6n,\qquad n\lt3.\]
**Krok \(7\).** Liczby naturalne dodatnie mniejsze od \(3\) to \(n=1\) i \(n=2\). Liczba wszystkich kul wynosi \(4n\), czyli \(4\) albo \(8\).
**Krok \(8\).** Sprawdzenie. Dla \(n=1\): \(P(A)=\frac{3}{2\cdot3}=\frac12=\frac{11}{22}\gt\frac{9}{22}\). Dla \(n=2\): \(P(A)=\frac{6}{2\cdot7}=\frac37=\frac{66}{154}\gt\frac{63}{154}=\frac{9}{22}\). Dla \(n=3\) byłoby \(P(A)=\frac{9}{22}\), czyli równość, a nie nierówność ostra — ta wartość słusznie odpada.
**Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, pytanie dotyczy liczby wszystkich kul, a nie wartości \(n\) — trzeba pamiętać o pomnożeniu przez \(4\). Po drugie, \(n\) musi być liczbą naturalną dodatnią, więc z warunku \(n\lt3\) nie wynika przedział, tylko dwie konkretne wartości; przypadek graniczny \(n=3\) odpada właśnie dlatego, że w treści jest nierówność ostra.
**Odpowiedź.** W urnie są \(4\) kule albo \(8\) kul.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – jeśli zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\) w tym samym modelu. Poprawna odpowiedź: \(\Omega=\binom{4n}{2}=2n(4n-1)\), \(A=\binom{n}{1}\binom{3n}{1}=n\cdot 3n\) lub \(\Omega=4n\cdot(4n-1)\), \(A=2\cdot n\cdot 3n\), gdzie \(n\) – liczba kul czarnych, \(3n\) – liczba kul białych, dla \(n\ge 1\).
**1 pkt** – jeśli zapisze tylko liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i na tym zakończy rozwiązanie.
**1 pkt** – jeśli zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) w postaci wyrażenia wymiernego. Poprawna odpowiedź: \(P(A)=\frac{3n}{2(4n-1)}\).
**1 pkt** – jeśli rozwiąże nierówność \(\frac{3n}{2(4n-1)}>\frac{9}{22}\) i poda liczbę kul w urnie. Poprawna odpowiedź: W urnie są \(4\) kule albo jest \(8\) kul.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
