Okręgi i koła
Zadanie 8, maj 2009, poziom rozszerzony
Dwa okręgi o środkach \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy \(3+2\sqrt2\).
Odpowiedź
\[\frac{R}{r}=3+2\sqrt2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) promień mniejszego okręgu o środku \(A\), przez \(R\) promień większego o środku \(B\), a przez \(O\) wierzchołek kąta prostego.
Okrąg styczny do obu ramion kąta ma środek równo oddalony od tych ramion, więc leży on na dwusiecznej kąta. Oba środki leżą zatem na jednej półprostej wychodzącej z \(O\), tworzącej z każdym ramieniem kąt \(45^\circ\).
Rzut środka na ramię kąta jest punktem styczności, więc odległość środka od ramienia jest równa promieniowi. Z trójkąta prostokątnego o kącie \(45^\circ\):
\[\lvert OA\rvert=r\sqrt2,\qquad \lvert OB\rvert=R\sqrt2.\]
Okręgi są styczne zewnętrznie, a punkt styczności leży na odcinku \(AB\), więc
\[\lvert AB\rvert=R+r.\]
Z rysunku \(A\) leży między \(O\) i \(B\), zatem \(\lvert AB\rvert=\lvert OB\rvert-\lvert OA\rvert\), czyli
\[R\sqrt2-r\sqrt2=R+r,\qquad R\left(\sqrt2-1\right)=r\left(\sqrt2+1\right).\]
Ponieważ \(\sqrt2-1>0\), możemy podzielić stronami:
\[\frac{R}{r}=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}=\frac{\left(\sqrt2+1\right)^2}{\left(\sqrt2-1\right)\left(\sqrt2+1\right)}=\frac{3+2\sqrt2}{1}=3+2\sqrt2,\]
co należało udowodnić.
**Odpowiedź.** \(\dfrac{R}{r}=3+2\sqrt2\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – jeśli zapisze zależność między promieniami okręgów. Poprawna odpowiedź: \(R+r=(R-r)\sqrt{2}\).
**1 pkt** – jeśli zapisze długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równoramiennego \(ABC\) w zależności od \(R\) i \(r\) i na tym zakończy rozwiązanie lub w dalszej części popełni błędy. Poprawna odpowiedź: \(AB=R+r\).
**2 pkt** – jeśli obliczy stosunek promieni większego i mniejszego okręgu. Poprawna odpowiedź: \(\frac{R}{r}=3+2\sqrt{2}\).
**1 pkt** – jeśli przekształci zależność \(R+r=(R-r)\sqrt{2}\) do postaci umożliwiającej obliczenie stosunku promieni i na tym zakończy rozwiązanie. Poprawna odpowiedź: np. \(r\left(1+\sqrt{2}\right)=R\left(\sqrt{2}-1\right)\) lub \(\left(\frac{R}{r}-1\right)\sqrt{2}=\frac{R}{r}+1\), lub \(1+\frac{r}{R}=\left(1-\frac{r}{R}\right)\sqrt{2}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
