Zadanie 14 – matura z matematyki czerwiec 2025, poziom rozszerzony

Okrąg ma równanie \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5\). Ze środka symetrii równoległoboku otrzymujemy \(B=(4,-7)\) i \(C=(-1,3)\), a proste \(AB\) i \(BC\) mają równania \(x+2y+10=0\) oraz \(2x+y-1=0\). Punkty jednakowo odległe od obu prostych leżą na dwusiecznych \(y=-x-3\) albo \(y=x-11\); druga z nich nie daje rozwiązań, a pierwsza prowadzi do \(S=(-1,-2)\) (drugą możliwość \(S=\left(-\frac{29}{9},\frac{2}{9}\right)\) odrzucamy, bo jej druga współrzędna jest dodatnia).

**Krok \(1\).** Metoda: najpierw z własności równoległoboku (przekątne dzielą się na połowy) wyznaczamy brakujące wierzchołki i równania prostych \(AB\) i \(BC\). Potem szukamy środka \(S=(p,q)\) okręgu z dwóch warunków: jest jednakowo odległy od obu prostych i ta odległość jest równa \(\lvert SO\rvert\), gdzie \(O=(0,0)\). **Krok \(2\).** Punkt \(M\) jest środkiem przekątnej \(BD\), więc \(B=2M-D\): \[B=\left(2\cdot\left(-\tfrac{9}{2}\right)-(-13),\ 2\cdot 1-9\right)=(4,-7).\] **Krok \(3\).** Podobnie \(M\) jest środkiem przekątnej \(AC\), więc \(C=2M-A\): \[C=\left(-9-(-8),\ 2-(-1)\right)=(-1,3).\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy prostą \(AB\) przez \(A=(-8,-1)\) i \(B=(4,-7)\): \[a_{AB}=\frac{-7-(-1)}{4-(-8)}=-\frac{1}{2},\qquad y=-\frac{1}{2}x-5,\qquad\text{czyli}\qquad x+2y+10=0.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy prostą \(BC\) przez \(B=(4,-7)\) i \(C=(-1,3)\): \[a_{BC}=\frac{3-(-7)}{-1-4}=-2,\qquad y=-2x+1,\qquad\text{czyli}\qquad 2x+y-1=0.\] **Krok \(6\).** Niech \(S=(p,q)\) i niech \(r\) będzie promieniem. Okrąg przechodzi przez \(O=(0,0)\), więc \(r^{2}=p^{2}+q^{2}\), a ze styczności do obu prostych (obie mają ten sam mianownik \(\sqrt5\)): \[\frac{\lvert p+2q+10\rvert}{\sqrt5}=\frac{\lvert 2p+q-1\rvert}{\sqrt5}=r.\] **Krok \(7\).** Z równości pierwszych dwóch wyrażeń: \(\lvert p+2q+10\rvert=\lvert 2p+q-1\rvert\), czyli \[p+2q+10=2p+q-1\quad\Rightarrow\quad q=p-11,\] \[p+2q+10=-(2p+q-1)\quad\Rightarrow\quad 3p+3q+9=0\quad\Rightarrow\quad q=-p-3.\] To są równania dwóch dwusiecznych kątów utworzonych przez proste \(AB\) i \(BC\); obie przechodzą przez \(B=(4,-7)\). **Krok \(8\).** Przypadek \(q=p-11\). Warunek \(p^{2}+q^{2}=\frac{(2p+q-1)^{2}}{5}\) daje \[5\left(2p^{2}-22p+121\right)=(3p-12)^{2},\qquad p^{2}-38p+461=0,\] a \(\Delta=1444-1844=-400\lt 0\), więc ten przypadek nie daje żadnego rozwiązania. **Krok \(9\).** Przypadek \(q=-p-3\). Wtedy \[5\left(p^{2}+(p+3)^{2}\right)=(p-4)^{2},\qquad 10p^{2}+30p+45=p^{2}-8p+16,\qquad 9p^{2}+38p+29=0.\] Wyróżnik \(\Delta=1444-1044=400\), więc \[p=\frac{-38-20}{18}=-\frac{29}{9}\qquad\text{lub}\qquad p=\frac{-38+20}{18}=-1.\] **Krok \(10\).** Sprawdzamy warunek „druga współrzędna środka jest ujemna”. Dla \(p=-\frac{29}{9}\) mamy \(q=\frac{29}{9}-3=\frac{2}{9}\gt 0\) — odrzucamy. Dla \(p=-1\) mamy \(q=-2\lt 0\) — przyjmujemy, czyli \(S=(-1,-2)\). **Krok \(11\).** Obliczamy promień i sprawdzamy styczność: \[r^{2}=(-1)^{2}+(-2)^{2}=5,\qquad \frac{\lvert -1-4+10\rvert}{\sqrt5}=\sqrt5,\qquad \frac{\lvert -2-2-1\rvert}{\sqrt5}=\sqrt5.\] Odległości od obu prostych są równe \(\sqrt5=r\) — warunki zadania są spełnione. **Uwaga.** Punktów jednakowo odległych od dwóch przecinających się prostych szukamy na obu dwusiecznych, nie tylko na tej „wewnętrznej”. Tutaj druga dwusieczna nie daje rozwiązań, ale trzeba to sprawdzić, a nie założyć. **Odpowiedź.** Okrąg \(O\) ma równanie \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5\).

**(dla sposobów I–III)** **6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((x+1)^2+(y+2)^2=5\). **5 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą – pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(S\), np.: \(\left[x_S-\left(\tfrac{3}{5}x_S+\tfrac{8}{5}\right)\right]^2+\left[-x_S-3-\left(-\tfrac{6}{5}x_S-\tfrac{11}{5}\right)\right]^2=x_S^2+(-x_S-3)^2\) (ze związków \(r=\lvert ST\rvert\) oraz \(r=\lvert SO\rvert\)), \((x_S-4)^2+\left(-x_S-3-(-7)\right)^2=\left(\tfrac{3}{5}x_S+\tfrac{8}{5}-4\right)^2+\left(-\tfrac{6}{5}x_S-\tfrac{11}{5}-(-7)\right)^2+x_S^2+(-x_S-3)^2\) (ze związków \(\lvert BS\rvert^2=\lvert BT\rvert^2+r^2\) oraz \(r=\lvert SO\rvert\)). **4 pkt** – wyznaczenie równania dwusiecznej kąta \(ABC\) równoległoboku: \(y=-x-3\) ALBO – zapisanie współrzędnych środka \(S\) za pomocą jednej niewiadomej, np. \(S=(x_S,-x_S-3)\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=(-2,5)\) ALBO – obliczenie współrzędnych takich punktów \(P_1\) oraz \(P_2\), że \(P_1\) leży na półprostej \(\overrightarrow{BA}\) oraz \(P_2\) leży na półprostej \(\overrightarrow{BC}\) oraz \(\lvert BP_1\rvert=\lvert BP_2\rvert\), ALBO – obliczenie tangensa kąta \(\alpha\): \(\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{1}{3}\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie związku \(\frac{\left\lvert\tfrac{1}{2}x_S+y_S+5\right\rvert}{\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+1}}=\frac{\lvert 2x_S+y_S-1\rvert}{\sqrt{2^2+1}}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) oraz obliczenie długości odcinka \(AB\): \(y=-2x+1\) oraz \(\lvert AB\rvert=\sqrt{180}\) ALBO – wyznaczenie równania prostej \(AB\) oraz obliczenie długości odcinka \(BC\): \(y=-\tfrac{1}{2}x-5\) oraz \(\lvert BC\rvert=\sqrt{75}\), ALBO – obliczenie współczynników kierunkowych prostych \(AB\) oraz \(BC\): \(a_{AB}=-\tfrac{1}{2}\) oraz \(a_{BC}=-2\) (dla sposobu II), ALBO – wyznaczenie równań prostych \(AB\) oraz \(BC\), np. \(y=-\tfrac{1}{2}x-5\) oraz \(y=-2x+1\) (dla sposobu III). **1 pkt** – obliczenie współrzędnych wierzchołka \(B\): \(B=(4,-7)\) ALBO – obliczenie współrzędnych wierzchołka \(C\): \(C=(-1,3)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.5R) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) […]; 8.6R) Zdający wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu.