Trójkąty
Zadanie 13, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny \(ABCD\) o podstawie \(ABC\). Płaszczyzna zawierająca krawędź \(AB\) podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej \(CD\) przecina tę krawędź w punkcie \(E\), przy czym \(\frac{\lvert CE\rvert}{\lvert DE\rvert}=\frac{3}{11}\).
Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy \(ABC\).
Odpowiedź
Stosunek pola powierzchni całkowitej do pola podstawy jest równy \(6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(a\) krawędź podstawy, przez \(d\) krawędź boczną, a przez \(M\) środek krawędzi \(AB\).
Ponieważ \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\) oraz \(\lvert DA\rvert=\lvert DB\rvert\), mamy \(CM\perp AB\) i \(DM\perp AB\), więc \(AB\) jest prostopadła do płaszczyzny \(CDM\). Płaszczyzna przekroju zawiera \(AB\) i jest prostopadła do \(CD\), zatem \(ME\perp CD\) i punkt \(E\) leży w płaszczyźnie \(CDM\).
Umieśćmy tę płaszczyznę w układzie współrzędnych: \(M=(0,0)\), \(C=\left(\frac{a\sqrt3}{2},0\right)\) (bo \(CM\) jest wysokością trójkąta równobocznego), a wierzchołek \(D=\left(\frac{a\sqrt3}{6},H\right)\), gdzie \(H\) jest wysokością ostrosłupa, a \(\frac{a\sqrt3}{6}\) — odległością środka podstawy od \(M\).
Rzut ortogonalny \(M\) na prostą \(CD\) daje
\[\lvert CE\rvert=\frac{\vec{CM}\cdot\vec{CD}}{d}=\frac{a^2}{2d},\qquad \lvert DE\rvert=d-\frac{a^2}{2d}=\frac{2d^2-a^2}{2d}.\]
Z warunku zadania
\[\frac{\lvert CE\rvert}{\lvert DE\rvert}=\frac{a^2}{2d^2-a^2}=\frac{3}{11},\qquad 11a^2=6d^2-3a^2,\qquad d^2=\frac{7a^2}{3}.\]
Wysokość ostrosłupa (odległość \(D\) od podstawy) spełnia \(H^2=d^2-\frac{a^2}{3}=2a^2\), a wysokość ściany bocznej (apotema) wynosi
\[m=\sqrt{H^2+\left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2}=\sqrt{2a^2+\frac{a^2}{12}}=\frac{5a}{2\sqrt3}.\]
Pole podstawy i pole boczne:
\[P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad P_b=3\cdot\tfrac12\cdot a\cdot m=\frac{5a^2\sqrt3}{4}.\]
Zatem
\[\frac{P_c}{P_p}=\frac{P_p+P_b}{P_p}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{5a^2\sqrt3}{4}}{\frac{a^2\sqrt3}{4}}=6.\]
**Odpowiedź.** \(\dfrac{P_c}{P_p}=6\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – uzasadnienie, że \(AB\perp\) płaszczyzna \(CDM\), i zapisanie \(ME\perp CD\).
**3–4 pkt** – wyznaczenie zależności \(d^2=\frac{7a^2}{3}\), a stąd \(H\) i wysokości ściany bocznej.
**5 pkt** – obliczenie stosunku pól równego \(6\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9.1) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami […], oblicza miary tych kątów;
9.2) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami […], oblicza miary tych kątów.
