Graniastosłupy
Zadanie 15, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym \(24\sqrt{3}\).
a) Wykaż, że objętość \(V\) graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy jest określona wzorem
\[V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}.\]
b) Objętość jest określona powyższym wzorem dla \(a\in(0,4\sqrt{3})\). Wyznacz długość krawędzi podstawy graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Odpowiedź
a) Z równania pola całkowitego otrzymujemy wysokość, a następnie \(V(a)=6a-\frac{a^{3}}{8}\). b) \(V'(a)=6-\frac{3a^{2}}{8}\), więc maksimum w przedziale występuje dla \(a=4\). Największa objętość wynosi \(V(4)=16\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda w części a): z danego pola powierzchni całkowitej wyznaczamy wysokość graniastosłupa w zależności od \(a\) i wstawiamy ją do wzoru na objętość.
**Krok \(2\).** Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\) i polu \(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\), a ściany boczne to trzy prostokąty o wymiarach \(a\times H\). Zatem
\[24\sqrt{3}=2\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+3aH=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3aH.\]
**Krok \(3\).** Wyznaczamy \(H\):
\[3aH=24\sqrt{3}-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2},\qquad H=\frac{\sqrt{3}\left(48-a^{2}\right)}{6a}.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy do wzoru na objętość:
\[V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}\left(48-a^{2}\right)}{6a}=\frac{3a\left(48-a^{2}\right)}{24}=6a-\frac{1}{8}a^{3}.\]
To należało wykazać.
**Krok \(5\).** Część b). Obliczamy pochodną funkcji \(V\) na przedziale \(\left(0,4\sqrt{3}\right)\):
\[V'(a)=6-\frac{3}{8}a^{2}.\]
**Krok \(6\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(\frac{3}{8}a^{2}=6\), czyli \(a^{2}=16\). Stąd \(a=4\) (wartość \(a=-4\) nie należy do dziedziny).
**Krok \(7\).** Badamy znak: dla \(a\in(0,4)\) mamy \(a^{2}\lt 16\), więc \(V'(a)\gt 0\); dla \(a\in\left(4,4\sqrt{3}\right)\) mamy \(V'(a)\lt 0\). Funkcja \(V\) rośnie na \((0,4]\) i maleje na \(\left[4,4\sqrt{3}\right)\), więc w \(a=4\) osiąga wartość największą.
**Krok \(8\).** Obliczamy tę wartość:
\[V(4)=6\cdot 4-\frac{1}{8}\cdot 4^{3}=24-8=16.\]
**Uwaga.** Samo zerowanie się pochodnej nie wystarcza — trzeba zbadać jej znak po obu stronach punktu \(a=4\) i stwierdzić, że jest to maksimum, a przy tym jedyne ekstremum na całym przedziale, więc zarazem wartość największa.
**Odpowiedź.** a) \(V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}\); b) największą objętość ma graniastosłup o krawędzi podstawy \(a=4\), a objętość ta wynosi \(16\).
Klucz i zasady oceniania
**Część a)**
**2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa, np. \(H=\frac{48\sqrt{3}-a^2\cdot\sqrt{3}}{6a}\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Część b)**
**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\) oraz obliczenie \(V(4)=16\).
**3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\).
**2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\): \(a=4\).
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\), np. \(V'(a)=6-\tfrac{3}{8}a^2\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Uwagi do części b):**
Uwagi:
1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej.
2. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz objętości graniastosłupa o największej objętości).
3. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
