Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 10, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie**
\[mx^2-(m+1)x-2m+3=0\]
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki:
\[x_1\neq0,\qquad x_2\neq0\qquad\text{oraz}\qquad\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}<1.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[m\in(-4-2\sqrt6,0)\cup\left(0,\frac19\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy \(m\neq0\) oraz \(\Delta>0\). Mamy
\[\Delta=(m+1)^2-4m(-2m+3)=9m^2-10m+1,\]
więc
\[(m-1)(9m-1)>0,\]
\[m\in\left(-\infty,\frac19\right)\cup(1,+\infty).\]
Niezerowość pierwiastków wymaga także \(m\neq\frac32\).
Przekształcamy nierówność:
\[\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}<1.\]
Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=\frac{m+1}{m},\qquad x_1x_2=\frac{-2m+3}{m}.\]
Po podstawieniu otrzymujemy
\[m^2+8m-8<0,\]
\[m\in(-4-2\sqrt6,-4+2\sqrt6),\qquad m\neq0,\quad m\neq\frac32.\]
Część wspólna warunków jest równa
\[m\in(-4-2\sqrt6,0)\cup\left(0,\frac19\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne wykonanie wszystkich trzech etapów i wynik \(m\in(-4-2\sqrt6,0)\cup(0,\frac19)\)
**I etap: 1 pkt** – poprawne rozwiązanie \(\Delta>0\): \(m\in(-\infty,\frac19)\cup(1,+\infty)\)
**II etap: 3 pkt** – wyznaczenie wszystkich \(m\), dla których \(\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}<1\)
**2 pkt** – zapisanie odpowiadającej warunkowi nierówności z jedną niewiadomą \(m\)
**1 pkt** – przekształcenie warunku do postaci zawierającej \(x_1+x_2\) i \(x_1x_2\)
**III etap: 1 pkt** – poprawne wyznaczenie części wspólnej warunków. Brak \(m\neq0\) lub \(m\neq\frac32\) ogranicza ocenę do \(4\) punktów
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.
