Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 14, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
Dane są okrąg \(o_1\) o równaniu
\[(x-6)^2+(y-4)^2=98\]
oraz okrąg \(o_2\) o promieniu \(2\sqrt5\). Środki okręgów \(o_1\) i \(o_2\) leżą po różnych stronach prostej \(k\) o równaniu
\[y=-3x-6,\]
a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej \(k\). **Wyznacz równanie okręgu \(o_2\).**
Odpowiedź
\[(x+3)^2+(y-1)^2=20.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Środkiem okręgu \(o_1\) jest \(S_1=(6,4)\). Prosta łącząca środki okręgów jest prostopadła do ich wspólnej cięciwy \(k\), dlatego ma równanie
\[y=\frac13x+2.\]
Oznaczmy \(S_2=(a,b)\). Mamy więc \(b=\frac13a+2\). Równanie okręgu \(o_2\) ma postać
\[(x-a)^2+(y-b)^2=20.\]
Po odjęciu równań okręgów ich oś potęgowa ma być prostą \(3x+y+6=0\). Porównanie współczynników wraz z \(b=\frac13a+2\) daje dwa możliwe położenia środka. Warunek, że \(S_1\) i \(S_2\) leżą po różnych stronach prostej \(k\), pozostawia
\[S_2=(-3,1).\]
Zatem
\[o_2:\quad (x+3)^2+(y-1)^2=20.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawne wyznaczenie środka i równania okręgu \(o_2\)
**5 pkt** – wyznaczenie obu kandydatów na środek i poprawne zastosowanie warunku położenia
**4 pkt** – ułożenie poprawnego układu równań dla współrzędnych środka
**3 pkt** – wykorzystanie osi potęgowej i prostej środków
**2 pkt** – wyznaczenie prostej środków \(y=\frac13x+2\)
**1 pkt** – poprawne odczytanie \(S_1=(6,4)\) i prostopadłości prostej środków do \(k\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R8.1-R8.3 obliczanie odległości punktu od prostej, posługiwanie się równaniem okręgu oraz wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu.
