Zadanie 13 – matura z matematyki czerwiec 2022, poziom rozszerzony

\[m\in\left(-\frac{11}{3},\frac{-3-\sqrt{17}}2\right)\cup\left(\frac{-3-\sqrt{17}}2,-2\right)\cup(1,3).\]

Wielomian kwadratowy musi mieć dwa różne pierwiastki, oba różne od \(4\). Warunek dodatniej delty daje \[\Delta=-3m^2-2m+33>0,\qquad m\in\left(-\frac{11}{3},3\right).\] Ponadto \[4^2+4(m-3)+m^2-m-6=m^2+3m-2\ne0,\] czyli \[m\ne\frac{-3-\sqrt{17}}2\quad\text{i}\quad m\ne\frac{-3+\sqrt{17}}2.\] Niech dwa pierwiastki trójmianu będą równe \(r\) i \(s\). Ze wzorów Viète'a \[r+s=3-m,\qquad rs=m^2-m-6.\] Trzecim pierwiastkiem jest \(4\), więc warunek z zadania upraszcza się do \[4rs>16+r^2+s^2-5m-51,\] \[5m^2+5m-10>0,\] \[(m+2)(m-1)>0.\] Zatem \(m<-2\) lub \(m>1\). Po przecięciu wszystkich warunków otrzymujemy podany zbiór.

**6 pkt** – wyznaczenie wszystkich warunków i poprawnego zbioru wartości \(m\) **5 pkt** – poprawne warunki trzech różnych pierwiastków i poprawna nierówność dla \(m\), z drobną usterką końcową **4 pkt** – wyprowadzenie \((m+2)(m-1)>0\) oraz większości warunków na pierwiastki **3 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów Viète'a do warunku z zadania **2 pkt** – wyznaczenie \(m\in(-\frac{11}{3},3)\) i wykluczenie wartości, dla których \(4\) jest pierwiastkiem trójmianu **1 pkt** – poprawny warunek \(\Delta>0\) albo równoważny istotny krok **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.1 i R3.2 stosowanie wzorów Viète'a oraz rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem.