Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne \(ABC\), gdzie \(|AC|=|BC|\), na których opisano okrąg o promieniu \(R=1\). Niech \(x\) oznacza odległość środka okręgu od podstawy \(AB\) trójkąta.
**a)** Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(x\), wyraża się wzorem
\[P(x)=(x+1)\sqrt{1-x^2}.\]
**b)** Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).
**c)** Oblicz długość odcinka \(x\) tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Odpowiedź
**a)** \(P(x)=(x+1)\sqrt{1-x^2}\)
**b)** \(D_P=(0,1)\)
**c)** \(x=\frac12\), a największe pole jest równe \(\frac{3\sqrt3}{4}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Połowa podstawy trójkąta ma długość
\[\frac{|AB|}{2}=\sqrt{1-x^2},\]
a wysokość opuszczona z wierzchołka \(C\) jest równa \(x+1\). Zatem
\[P(x)=\frac12\cdot2\sqrt{1-x^2}\cdot(x+1)=(x+1)\sqrt{1-x^2}.\]
**b)** Dla rozpatrywanych trójkątów ostrokątnych środek okręgu leży wewnątrz trójkąta, a podstawa nie jest średnicą ani punktem, dlatego
\[x\in(0,1).\]
**c)** Dla \(x\in(0,1)\) mamy
\[P'(x)=\frac{1-x-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{(2x-1)(x+1)}{\sqrt{1-x^2}}.\]
Pochodna jest dodatnia dla \(0<x<\frac12\) i ujemna dla \(\frac12<x<1\), więc maksimum występuje dla \(x=\frac12\). Wtedy
\[P\left(\frac12\right)=\frac32\sqrt{1-\frac14}=\frac{3\sqrt3}{4}.\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – poprawne rozwiązanie wszystkich podpunktów
**Podpunkt a): 2 pkt** – poprawne wyznaczenie długości podstawy i wysokości oraz otrzymanie wzoru na \(P(x)\)
**Podpunkt b): 1 pkt** – poprawna dziedzina \(D_P=(0,1)\)
**Podpunkt c): 4 pkt** – poprawne zastosowanie pochodnej, wykazanie maksimum dla \(x=\frac12\) i obliczenie pola \(\frac{3\sqrt3}{4}\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R11.6 stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
