Trójkąty
Zadanie 12, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Prosta \(x+y-10=0\) przecina okrąg \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+8=0 w\) punktach K,L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu okręgu w jednokładności o środku S i skali −\(3\).
Odpowiedź
Obraz ma równanie (x−\(10\))\(2\)+(y−\(9\))\(2=153\). Okrąg wyjściowy ma środek P=(\(4\),\(3\)) i promień √\(17\). Środek cięciwy to S=(\(\frac{11}{2}\),\(\frac{9}{2}\)); jednokładność o skali −\(3\) przenosi P na P′=(\(10\),\(9\)), a promień na \(3\sqrt{17}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:
\[x^2+y^2-8x-6y+8=0,\qquad (x-4)^2+(y-3)^2=17,\]
więc środek to \(P=(4,3)\), a promień \(R=\sqrt{17}\).
Punkt \(S\) jest środkiem cięciwy, czyli spodkiem prostopadłej poprowadzonej z \(P\) do prostej \(x+y-10=0\). Prosta przez \(P\) prostopadła do niej ma wektor kierunkowy \([1,1]\):
\[(4+t,\ 3+t),\qquad (4+t)+(3+t)-10=0,\qquad t=\tfrac32,\]
\[S=\left(\tfrac{11}{2},\tfrac92\right).\]
Jednokładność o środku \(S\) i skali \(k=-3\) przeprowadza środek okręgu na
\[P'=S+k\left(P-S\right)=\left(\tfrac{11}{2},\tfrac92\right)-3\left(-\tfrac32,-\tfrac32\right)=(10,9),\]
a promień mnoży przez \(\lvert k\rvert=3\):
\[R'=3\sqrt{17},\qquad R'^2=153.\]
**Odpowiedź.** \((x-10)^2+(y-9)^2=153\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie środka \(P=(4,3)\) i promienia \(R=\sqrt{17}\).
**3 pkt** – wyznaczenie \(S=\left(\frac{11}{2},\frac92\right)\).
**4–5 pkt** – wyznaczenie obrazu środka i promienia oraz zapisanie równania obrazu.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 12. (0–5)
Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje obrazy niektórych
figur geometrycznych w jednokładności (odcinka,
trójkąta, czworokąta itp.) (R7.3).
8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zdający posługuje się równaniem okręgu
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 oraz opisuje koła za pomocą
nierówności (R8.5).
