Zadanie 13 – matura z matematyki czerwiec 2020, poziom rozszerzony

\(12960\). Wszystkich siedmiopozycyjnych zapisów z trzema jedynkami, dwiema dwójkami i dwiema cyframi z pozostałych ośmiu jest C(\(7\),\(3\))C(\(4\),\(2\))·\(8^{2}\)=\(13440\). Odejmujemy \(480\) zapisów zaczynających się zerem.

Przykładowe rozwiązania I sposób Rozważamy trzy przypadki. • I. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest \(1\). Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie dwie cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich liczb istnieje  \(6\)   \(4\)    ⋅   ⋅\(82 = 15⋅ 6 ⋅ 64 = 5760\) .  \(2\)   \(2\)  • II. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej jest \(2\). Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry \(1\), dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich liczb istnieje  \(6\)   \(3\)   ⋅   ⋅\(82 = 20 ⋅ 3⋅ 64 = 3840\) .  \(3\)  \(1\)  • III. Pierwsza cyfra rozpatrywanej liczby jest różna od \(1\) i od \(2\). Pierwsza cyfra jest też różna od \(0\). Zatem na pierwszym miejscu stoi jedna z siedmiu cyfr ze zbioru {\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie jedna cyfra ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich liczb istnieje  \(6\)   \(3\)  \(7\) ⋅   ⋅   ⋅\(8 = 7 ⋅ 20 ⋅ 3⋅8 = 3360\) .  \(3\)   \(2\)  Łącznie istnieje zatem \(5760+3840+3360=12960\) rozważanych liczb. Istnieje \(12960\) siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry \(1\) i dokładnie dwie cyfry \(2\). II sposób Zliczamy wszystkie ąliczby” siedmiocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Wtedy na siedmiu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich ąliczb” jest  \(7\)   \(4\)    ⋅   ⋅\(82 = 35⋅ 6 ⋅ 64 = 13440\) .  \(3\)   \(2\)  Następnie zliczamy wszystkie ąliczby” siedmiocyfrowe, których pierwszą cyfrą jest \(0\) oraz w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie jedna cyfra ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich ąliczb” jest  \(6\)   \(3\)    ⋅   ⋅\(8 = 20 ⋅ 3⋅8 = 480\) .  \(3\)   \(2\)  Jest zatem \(13440\) − \(480 = 12960\) rozważanych liczb.

Zasady oceniania I sposobu rozwiązania. Rozwiązanie składa się z następujących części. Pierwsza polega na wyróżnieniu trzech przypadków i dodaniu – w końcowej fazie rozwiązania – otrzymanych trzech wyników. Druga część polega na zapisaniu liczby rozważanych w każdym przypadku liczb i obliczeniu liczby tych liczb. **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający poprawnie wskaże trzy przypadki, albo pominie jeden z przypadków, ale zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym przypadku, np. \(\binom{6}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot 8^{2}\) lub \(\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{1}\cdot 8^{2}\), lub \(7\cdot\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot 8\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający poprawnie wskaże trzy przypadki oraz zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym przypadku lub pominie jeden przypadek i zapisze liczbę liczb w dwóch wskazanych przez siebie przypadkach. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający poprawnie wskaże trzy przypadki i zapisze liczbę liczb rozważanych w dwóch przypadkach. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający poprawnie wskaże trzy przypadki i poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb: \(12960\). Zasady oceniania II sposobu rozwiązania. Rozwiązanie składa się z dwóch części. Pierwsza polega na obliczeniu liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), oraz liczby tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest \(0\). Druga część polega na obliczeniu liczby szukanych liczb. **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze, że liczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), liczbę tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest \(0\) (lub z rozwiązania wynika, że zdający w ten sposób ustala liczbę szukanych liczb); albo zapisze, że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{7}{3}\cdot\binom{4}{2}\cdot 8^{2}\); albo zapisze, że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest \(0\) oraz w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie jedna cyfra ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot 8\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze, że liczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), liczbę tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest \(0\), oraz zapisze, że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{7}{3}\cdot\binom{4}{2}\cdot 8^{2}\), albo że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest \(0\) oraz w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie jedna cyfra ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot 8\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze, że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{7}{3}\cdot\binom{4}{2}\cdot 8^{2}\), oraz że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest \(0\) oraz w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie jedna cyfra ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot 8\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb: \(12960\).

Zadanie 13. (0–4) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych (R10.1).