Trójkąty
Zadanie 13, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi Oy. Okrąg wpisany jest styczny do AB, BC i CA odpowiednio \(w P=(0{,}10), Q=(8{,}6), R=(9{,}13)\). Oblicz współrzędne A, B i C.
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: punkty styczności to \(P=(0,10)\), \(Q=(8,6)\) oraz \(R=(9,13)\) — pary liczb, nie liczby dziesiętne. Przy tym odczycie \(Q\) leży na boku \(CA\), a \(R\) na boku \(BC\).
w zapisie zastanym współrzędne rozdzielono makrem \(\{,\}\), które renderuje się jako przecinek dziesiętny, więc \(P=(0{,}10)\) czyta się jako liczbę \(0{,}10\); para \((0,10)\) jest jedynym odczytem zgodnym z kluczem CKE, bo dla \(A=(0,0)\), \(B=(0,25)\), \(C=(12,9)\) środek okręgu wpisanego wypada w \((5,10)\), a jego rzuty na boki dają dokładnie \((0,10)\), \((8,6)\) i \((9,13)\).Odpowiedź
\[A=(0,0),\qquad B=(0,25),\qquad C=(12,9).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Odczytujemy punkty styczności: \(P=(0,10)\) leży na osi \(Oy\), a więc na boku \(AB\); pozostałe dwa to \(Q=(8,6)\) oraz \(R=(9,13)\).
Środek \(I\) okręgu wpisanego jest jednakowo oddalony od wszystkich punktów styczności, więc leży na symetralnych odcinków \(PQ\) i \(PR\). Ponadto \(IP\perp AB\), a \(AB\) leży na osi \(Oy\), więc \(IP\) jest poziomy i \(I=(r,10)\).
Z równości \(\lvert IP\rvert=\lvert IQ\rvert\):
\[r^2=(r-8)^2+16,\qquad 16r=80,\qquad r=5,\]
czyli \(I=(5,10)\). Sprawdzenie: \(\lvert IR\rvert=\sqrt{4^2+3^2}=5\).
Prosta \(AC\) jest styczna w \(Q=(8,6)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IQ}=[3,-4]\) i ma równanie
\[3(x-8)-4(y-6)=0,\qquad 3x-4y=0,\qquad y=\tfrac34x.\]
Prosta \(BC\) jest styczna w \(R=(9,13)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IR}=[4,3]\):
\[4(x-9)+3(y-13)=0,\qquad 4x+3y-75=0,\qquad y=-\tfrac43x+25.\]
Wierzchołki:
\[A=AC\cap Oy=(0,0),\qquad B=BC\cap Oy=(0,25),\]
\[C:\quad \tfrac34x=-\tfrac43x+25,\qquad x=12,\qquad y=9,\qquad C=(12,9).\]
Sprawdzenie: \(\lvert AC\rvert=15\), \(\lvert BC\rvert=20\), \(\lvert AB\rvert=25\) oraz \(15^2+20^2=625=25^2\) — trójkąt jest prostokątny, a \(r=\frac{15+20-25}{2}=5\).
**Odpowiedź.** \(A=(0,0)\), \(B=(0,25)\), \(C=(12,9)\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie środka okręgu wpisanego \(I=(5,10)\) i promienia \(r=5\).
**3–4 pkt** – wyznaczenie równań prostych \(AC\) i \(BC\) jako stycznych prostopadłych do promieni w punktach styczności.
**5 pkt** – obliczenie współrzędnych \(A\), \(B\) i \(C\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: wyznaczanie równań symetralnych i stycznych do okręgu oraz punktów przecięcia prostych w układzie współrzędnych.
