Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 14, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^2-3mx+(m+1)(2m-1)=0\]
ma dwa różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunki
\[x_1\cdot x_2\neq0\qquad\text{oraz}\qquad 0<\frac1{x_1}+\frac1{x_2}\leq\frac23.\]
Odpowiedź
\[m\in\left[-\frac14,0\right)\cup(2,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wyróżnik równania jest równy
\[\Delta=9m^2-4(m+1)(2m-1)=(m-2)^2.\]
Dwa różne pierwiastki istnieją dla \(m\neq2\). Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=3m,\qquad x_1x_2=(m+1)(2m-1).\]
Warunek \(x_1x_2\neq0\) wyklucza \(m=-1\) i \(m=\frac12\), a
\[\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}.\]
Rozwiązujemy układ
\[0<\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\leq\frac23.\]
Pierwsza nierówność daje
\[m\in(-1,0)\cup\left(\frac12,+\infty\right).\]
Druga jest równoważna nierówności
\[\frac{-4(m-2)\left(m+\frac14\right)}{(m+1)(2m-1)}\leq0,\]
której zbiorem rozwiązań jest
\[m\in(-\infty,-1)\cup\left[-\frac14,\frac12\right)\cup[2,+\infty).\]
Po przecięciu zbiorów i uwzględnieniu \(m\neq2\) otrzymujemy
\[m\in\left[-\frac14,0\right)\cup(2,+\infty).\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – podanie pełnego zbioru \(m\in[-\frac14,0)\cup(2,+\infty)\)
**5 pkt** – poprawne rozwiązanie obu nierówności i pozostawienie do wykonania jedynie przecięcia warunków
**4 pkt** – poprawne zapisanie i częściowe rozwiązanie drugiej nierówności wymiernej
**3 pkt** – wyznaczenie pierwiastków \(x_1=m+1\), \(x_2=2m-1\) lub równoważne wykorzystanie wzorów Viète'a oraz poprawne zapisanie obu nierówności dla \(m\)
**2 pkt** – wyznaczenie pierwiastków i rozpoczęcie analizy warunków odwrotności
**1 pkt** – obliczenie \(\Delta=(m-2)^2\) i stwierdzenie, że dwa różne pierwiastki istnieją dla \(m\neq2\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** równania z parametrem - wyróżnik trójmianu, wzory Viète'a, nierówności wymierne i część wspólna warunków.
