Trójkąty
Zadanie 7, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Punkty \(A=(2,0)\) i \(B=(4,2)\) leżą na okręgu o równaniu
\[(x-1)^2+(y-3)^2=10.\]
Wyznacz na tym okręgu taki punkt \(C\), aby trójkąt \(ABC\) był trójkątem równoramiennym o podstawie \(AB\).
Odpowiedź
\[C=\left(1-\sqrt5,\ 3+\sqrt5\right)\quad\text{albo}\quad C=\left(1+\sqrt5,\ 3-\sqrt5\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Sprawdzamy najpierw, że \(A\) i \(B\) rzeczywiście leżą na okręgu:
\[(2-1)^2+(0-3)^2=10,\qquad (4-1)^2+(2-3)^2=10.\]
Trójkąt \(ABC\) ma być równoramienny o podstawie \(AB\), czyli \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\). Punkt \(C\) leży zatem na symetralnej odcinka \(AB\).
Środek \(AB\) to \(\left(3,1\right)\), a wektor \(\vec{AB}=[2,2]\) ma współczynnik kierunkowy \(1\), więc symetralna ma współczynnik \(-1\):
\[y-1=-\left(x-3\right),\qquad y=-x+4.\]
Szukamy punktów wspólnych symetralnej i okręgu:
\[(x-1)^2+\left(-x+4-3\right)^2=10,\qquad (x-1)^2+(1-x)^2=10,\]
\[2(x-1)^2=10,\qquad (x-1)^2=5,\qquad x=1\pm\sqrt5,\]
a stąd \(y=4-x=3\mp\sqrt5\).
Oba punkty są różne od \(A\) i \(B\), więc oba spełniają warunki zadania.
**Odpowiedź.** \(C=\left(1-\sqrt5,3+\sqrt5\right)\) albo \(C=\left(1+\sqrt5,3-\sqrt5\right)\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\).
**3 pkt** – zapisanie i rozwiązanie równania \((x-1)^2=5\).
**4 pkt** – podanie obu punktów \(C\).
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: symetralna odcinka oraz przecięcie prostej z okręgiem.
