Funkcja kwadratowa
Zadanie 11, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Suma długości dwóch boków trójkąta równa się \(4\), a kąt między tymi bokami ma miarę \(120^\circ\). Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.
Odpowiedź
Najmniejsza wartość wynosi \(20\). Niech a+b=\(4\), a kąt między tymi bokami ma \(120\)°. Z twierdzenia cosinusów \(c^{2}\)=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+ab. Suma S=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\) po podstawieniu b=\(4\)−a ma postać S(a)=\(3\)\(a^{2}\)−\(12a\)+\(32\) i osiąga minimum dla a=\(2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Dane są dwa boki (a właściwie ich suma) i kąt między nimi — to wprost sytuacja z twierdzenia cosinusów, które pozwoli wyrazić trzeci bok przez dwa pierwsze. Warunek \(a+b=4\) pozwoli potem zejść do jednej zmiennej, a szukanie najmniejszej wartości sprowadzi się do wierzchołka paraboli.
**Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) i \(b\) długości boków tworzących kąt \(120^\circ\), a przez \(c\) długość trzeciego boku. Z treści \(a+b=4\).
**Krok \(3\).** Twierdzenie cosinusów dla kąta \(120^\circ\), przy czym \(\cos120^\circ=-\frac12\):
\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ=a^2+b^2-2ab\cdot\left(-\frac12\right)=a^2+b^2+ab.\]
**Krok \(4\).** Suma kwadratów wszystkich boków wynosi więc
\[S=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(a^2+b^2+ab)=2(a^2+b^2)+ab.\]
**Krok \(5\).** Podstawiamy \(b=4-a\). Liczymy osobno oba składniki:
\[a^2+b^2=a^2+(4-a)^2=a^2+16-8a+a^2=2a^2-8a+16,\]
\[ab=a(4-a)=4a-a^2.\]
**Krok \(6\).** Wstawiamy do wzoru na \(S\):
\[S(a)=2\big(2a^2-8a+16\big)+4a-a^2=4a^2-16a+32+4a-a^2=3a^2-12a+32.\]
**Krok \(7\).** Dziedziną są te \(a\), dla których trójkąt istnieje: \(a\gt 0\) oraz \(b=4-a\gt 0\), czyli \(a\in(0,4)\).
**Krok \(8\).** Współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku:
\[a_w=\frac{12}{2\cdot3}=2,\]
a liczba \(2\) należy do przedziału \((0,4)\).
**Krok \(9\).** Obliczamy wartość najmniejszą:
\[S(2)=3\cdot4-12\cdot2+32=12-24+32=20.\]
(Wtedy \(a=b=2\), \(c^2=4+4+4=12\), czyli \(c=2\sqrt3\) — taki trójkąt rzeczywiście istnieje.)
**Uwaga.** Kąt \(120^\circ\) jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny i po podstawieniu do twierdzenia cosinusów minus zamienia się w plus: \(c^2=a^2+b^2+ab\). Trzeba też sprawdzić, czy wierzchołek paraboli mieści się w dziedzinie — tu mieści się, więc odpowiedź jest po prostu wartością w wierzchołku.
**Odpowiedź.** Najmniejsza wartość sumy kwadratów długości boków wynosi \(20\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zdający wyznaczy kwadrat długości trzeciego boku tego trójkąta i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
**3 pkt** – zdający zapisze sumę kwadratów długości boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej: \(S(a)=3a^{2}-12a+32\) lub \(S(b)=3b^{2}-12b+32\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
**4 pkt** – zdający obliczy i zapisze, że najmniejsza wartość sumy kwadratów długości boków tego trójkąta jest równa \(20\).
Jeżeli zdający zapisze sumę kwadratów długości boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej z błędem rachunkowym i na tym zakończy, to otrzymuje \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: twierdzenie cosinusów i minimum funkcji kwadratowej.
