Okręgi i koła
Zadanie 7, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach
\[A=(0,2)\qquad\text{i}\qquad B=(2,0)\]
oraz jest styczny do prostej \(l\) w punkcie \(C=(1,a)\), gdzie \(a>1\). Wyznacz równanie prostej \(l\).
Odpowiedź
l: x−√\(3y\)+\(2\sqrt{3+2=0}\), równoważnie y=(√\(\frac{3}{3}\))x+\(2\)(\(1\)+√\(\frac{3}{3}\)). Okrąg ma środek S=(\(2\),\(2\)) i promień \(2\). Z C=(\(1\),a) oraz równania okręgu, przy a>\(1\), dostajemy C=(\(1\),\(2\)+√\(3\)). Styczna jest prostopadła do CS.
Rozwiązanie krok po kroku
Okrąg jest styczny do obu osi, a punkty styczności to \(A=(0,2)\) i \(B=(2,0)\). Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc środek \(S\) leży na prostej \(y=2\) (prostopadłej do osi \(Oy\) w \(A\)) oraz na prostej \(x=2\). Zatem
\[S=(2,2),\qquad r=\lvert SA\rvert=2.\]
Równanie okręgu: \((x-2)^2+(y-2)^2=4\).
Punkt \(C=(1,a)\) leży na okręgu, więc
\[(1-2)^2+(a-2)^2=4,\qquad (a-2)^2=3,\qquad a=2\pm\sqrt3.\]
Z warunku \(a>1\) i z tego, że \(2-\sqrt3\approx0{,}27<1\), wybieramy \(a=2+\sqrt3\), czyli \(C=\left(1,2+\sqrt3\right)\).
Prosta \(l\) jest styczna w \(C\), więc jest prostopadła do promienia \(SC\). Wektor \(\vec{SC}=\left[-1,\sqrt3\right]\) ma współczynnik kierunkowy \(-\sqrt3\), zatem prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy
\[m=\frac{-1}{-\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.\]
Równanie prostej przechodzącej przez \(C\):
\[y-\left(2+\sqrt3\right)=\frac{\sqrt3}{3}\left(x-1\right),\qquad y=\frac{\sqrt3}{3}x+2+\frac{2\sqrt3}{3},\]
równoważnie \(x-\sqrt3\,y+2\sqrt3+2=0\).
**Odpowiedź.** \(l:\ y=\dfrac{\sqrt3}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt3}{3}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie środka \(S=(2,2)\) i promienia \(r=2\).
**3 pkt** – wyznaczenie \(C=\left(1,2+\sqrt3\right)\) z uwzględnieniem warunku \(a>1\).
**4 pkt** – wyznaczenie równania stycznej w punkcie \(C\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu (IV.8.b.R).
