Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c,d\) prawdziwa jest nierówność
\[ac+bd\leq\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}.\]
Odpowiedź
Obie strony są dodatnie, więc po podniesieniu do kwadratu wystarczy wykazać \((ac+bd)^2\leqslant(a^2+b^2)(c^2+d^2)\). Po rozwinięciu i redukcji jest to równoważne nierówności \((ad-bc)^2\geqslant0\), prawdziwej dla wszystkich liczb rzeczywistych. Równość zachodzi dla \(ad=bc\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie na dowód. Po prawej stronie są pierwiastki, więc naturalnym pomysłem jest podniesienie obu stron do kwadratu. Wolno tak zrobić tylko wtedy, gdy obie strony są nieujemne — dlatego najpierw to sprawdzamy.
**Krok \(2\).** Liczby \(a,b,c,d\) są dodatnie, więc lewa strona \(ac+bd\) jest dodatnia, a prawa strona jako iloczyn pierwiastków także jest dodatnia. Dla liczb nieujemnych nierówność \(L\leqslant P\) jest równoważna nierówności \(L^2\leqslant P^2\), więc możemy pisać przekształcenia równoważne.
**Krok \(3\).** Podnosimy obie strony do kwadratu. Prawa strona to \(\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2\left(\sqrt{c^2+d^2}\right)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\), więc mamy wykazać
\[(ac+bd)^2\leqslant(a^2+b^2)(c^2+d^2).\]
**Krok \(4\).** Rozwijamy obie strony. Lewa:
\[(ac+bd)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2.\]
Prawa:
\[(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.\]
**Krok \(5\).** Redukujemy wyrazy \(a^2c^2\) i \(b^2d^2\), które występują po obu stronach. Zostaje nierówność
\[2abcd\leqslant a^2d^2+b^2c^2.\]
**Krok \(6\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[a^2d^2-2abcd+b^2c^2\geqslant0.\]
**Krok \(7\).** Lewa strona to kwadrat różnicy — rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \(u^2-2uv+v^2=(u-v)^2\) dla \(u=ad\), \(v=bc\):
\[(ad-bc)^2\geqslant0.\]
**Krok \(8\).** Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa. Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, prawdziwa jest także nierówność wyjściowa, co kończy dowód.
**Uwaga.** Podnoszenie nierówności do kwadratu jest równoważne tylko dla stron nieujemnych — tutaj gwarantuje to założenie, że \(a,b,c,d\) są dodatnie, i dlatego trzeba je wyraźnie powołać. Z ostatniego kroku widać też, kiedy zachodzi równość: dokładnie wtedy, gdy \(ad=bc\).
**Odpowiedź.** Nierówność \(ac+bd\leqslant\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}\) jest prawdziwa dla wszystkich dodatnich \(a,b,c,d\), ponieważ jest równoważna nierówności \((ad-bc)^2\geqslant0\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy przekształci nierówność do postaci równoważnej \(\left(ac+bd\right)^{2}\le\left(a^{2}+b^{2}\right)\cdot\left(c^{2}+d^{2}\right)\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
**2 pkt** – gdy doprowadzi nierówność do postaci \(2abcd\le a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
**3 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (V.2.b).
